Calcule os seguintes limites :
lim x -infty cos (x)x;

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de limxto -infty cos(x)x. O conteúdo envolvido é cálculo de limites em que uma função limitada aparece sobre uma variável que tende a infinito. Vamos usar que cos(x) é limitada e aplicar o teorema do aperto.

Passo 2

Sabemos que para todo x vale
-1 <= cos(x) <= 1
Como estamos fazendo xto -infty, ou seja, x<0 suficientemente grande em valor absoluto, ao dividir a desigualdade por x o sentido das desigualdades se inverte:
-tfrac1x >= tfraccos(x)x >= tfrac1x

Passo 3

Agora analisamos o limite das funções que “apertam” tfraccos(x)x. Quando xto -infty temos
limxto -infty l(-tfrac1xr) = 0
e
limxto -infty tfrac1x = 0

Passo 4

Pelo teorema do aperto, tfraccos(x)x também tende a 0 quando xto -infty.

Resposta

0

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