Nos exercícios 39 a 46, encontrar a integral que dá o comprimento total da curva dada.
r=4-2 sen theta

Passo 1

Temos uma curva em coordenadas polares dada por r(theta)=4-2sintheta. O conteúdo aqui é o comprimento de arco em coordenadas polares e vamos precisar da fórmula
L=integrala^braizr(theta)^2+l(r'(theta)r)^2,dtheta

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de r(theta):
r'(theta)=ddtheta(4-2sintheta)=-2costheta

Passo 3

Substituímos r(theta) e r'(theta) na fórmula do comprimento de arco:
L=integrala^braiz(4-2sintheta)^2+(-2costheta)^2,dtheta

Passo 4

Simplificamos o integrando:
(4-2sintheta)^2+4cos^2theta=16-16sintheta+4(sin^2theta+cos^2theta)=20-16sintheta
Portanto
raiz(4-2sintheta)^2+4cos^2theta=2raiz5-4sintheta

Passo 5

Como r(theta)=4-2sintheta é sempre positivo, a curva fecha-se num período completo de theta=0 a 2pi. Logo, a integral do comprimento total vai de 0 a 2pi.

Resposta

L=2integral0^2piraiz5-4sintheta,dtheta

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