Num elemento de viga de comprimento 0,1 m obtiveram-se u1^e=-1,25 cdot 10^-5 m, u2^e=4,36 cdot 10^-5 rad, u3^e=-2,01 cdot 10^-5 m e u4^e=2,95 cdot 10^-5 rad. Sendo a rigidez à flexão do elemento igual a 1150 kN m^2, determine os diagramas de força cortante e momento fletor nesse elemento.

Passo 1

O enunciado dá um elemento de viga de comprimento L = 0,1 m com os deslocamentos nodais
u1^e= -1,25times10^-5, m, u2^e=4,36times10^-5,rad, u3^e=-2,01times10^-5, m e u4^e=2,95times10^-5,rad. A rigidez à flexão é EI=1150,kN!cdot!m^2. Vamos usar as funções de forma Hermite para viga (contínuas em deslocamento e rotação) para obter o momento fletor M(x) e, em seguida, a força cortante V(x)= dM/ dx.

Passo 2

As funções de forma para deslocamento w(x) num elemento de viga são
N1=1-3xi^2+2xi^3, N2=L(xi-2xi^2+xi^3), N3=3xi^2-2xi^3, N4=L(-xi^2+xi^3),
com xi=x/L. O momento interno é
M(x)=EI,w''(x)=EIl(N1''(x)u1^e+N2''(x)u2^e+N3''(x)u3^e+N4''(x)u4^er)
e a força cortante é
V(x)= dM dx=EI,w'''(x)

Passo 3

Calculamos as derivadas de segundo e terceiro graus (para L=0,1 m) e, coletando em função de x, obtemos
M(x)=EIl[(-6/L^2+12x/L^3)u1^e+(-4/L+6x/L^2)u2^e+(6/L^2-12x/L^3)u3^e+(-2/L+6x/L^2)u4^er]

Passo 4

Substituindo L=0,1 m, EI=1,15times10^6 N·m² e os ui^e, achamos
M(x)=1,15times10^6l[-0,006894+0,13506,xr] = -7,938,1+155,319,x (N!cdot!m)

Passo 5

Derivando, a força cortante é constante:
V(x)= dM dx=155,319 N
para todo 0<= x<=0,1 m.

Resposta

Força cortante: V(x)=155 319 N (constante)\nMomento fletor (x em metros, em relação ao nó 1): M(x)=–7 938,1+155 319·x (N·m), variando linearmente de –7 938,1 N·m em x=0 até +7 593,8 N·m em x=0,1 m.

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