Nos exercícios 39 a 46, encontrar a integral que dá o comprimento total da curva dada.
r=2-3 cos theta

Passo 1

O enunciado pede o comprimento total da curva dada em coordenadas polares por r=2–3 cos θ. O conteúdo é comprimento de curva em coordenadas polares, e vamos precisar da fórmula
L=integralα^βraizr(θ)^2+l(r'(θ)r)^2;dθ

Passo 2

Primeiro calculamos a derivada de r(θ). Como r(θ)=2–3 cos θ, temos
r'(θ)=ddθl(23cosθr)=3sinθ

Passo 3

Agora formamos o integrando r2+(r’)2 e simplificamos:
r(θ)^2+l(r'(θ)r)^2=(23cosθ)^2+(3sinθ)^2 =412cosθ+9cos^2θ+9sin^2θ =1312cosθ
Portanto o integrando fica raiz1312cosθ.

Passo 4

Para traçar toda a curva (incluindo o laço interno) θ varia de 0 até 2π. Logo a integral que dá o comprimento total é

Resposta

L=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sqrt{13 - 12\cos\theta};d\theta

Exercícios relacionados