Nos exercícios 39 a 46, encontrar a integral que dá o comprimento total da curva dada.
Passo 1
O enunciado pede o comprimento total da curva dada em coordenadas polares por r=2–3 cos θ. O conteúdo é comprimento de curva em coordenadas polares, e vamos precisar da fórmula
Passo 2
Primeiro calculamos a derivada de r(θ). Como r(θ)=2–3 cos θ, temos
Passo 3
Agora formamos o integrando r2+(r’)2 e simplificamos:
Portanto o integrando fica
.
Passo 4
Para traçar toda a curva (incluindo o laço interno) θ varia de 0 até 2π. Logo a integral que dá o comprimento total é
Resposta
L=\displaystyle\int_{0}^{2\pi}\sqrt{13 - 12\cos\theta};d\theta