Calcule os seguintes limites :
lim x -infty(raizx^2+2 x+5-x)

Passo 1

O exercício pede o cálculo do limite \lim_{x\to -\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + 2x + 5} - x\bigr). O conteúdo principal é limites envolvendo radicais e vamos precisar usar racionalização para eliminar a forma indeterminada do tipo ∞ - (−∞).

Passo 2

Para simplificar a expressão, multiplicamos e dividimos pela conjugada de \sqrt{x^2+2x+5}-x. Assim, temos:
$$
\sqrt{x^2+2x+5}-x = \frac{(\sqrt{x2+2x+5}-x)(\sqrt{x2+2x+5}+x)}{\sqrt{x^2+2x+5}+x}
= \frac{x^2+2x+5 - x2}{\sqrt{x2+2x+5}+x}
= \frac{2x+5}{\sqrt{x^2+2x+5}+x}.
$$

Passo 3

Agora analisamos numerador e denominador quando x \to -\infty. Note que para x negativo de grande módulo, \sqrt{x2+2x+5}=|x|\sqrt{1+2/x+5/x2}=-x\sqrt{1+2/x+5/x^2}. Logo:
– O numerador 2x+5 \to -\infty.
– No denominador:
\sqrt{x^2+2x+5}+x = -x\bigl(\sqrt{1+2/x+5/x^2}-1\bigr).
Usando a expansão \sqrt{1+u}≈1+u/2 para u=2/x+5/x^2, temos \sqrt{1+2/x+5/x^2}-1≈1/x, então
\sqrt{x^2+2x+5}+x ≈ -x\cdot(1/x) = -1.

Passo 4

O quociente então se comporta como:
$$
\frac{2x+5}{\sqrt{x^2+2x+5}+x} ,\xrightarrow[x\to-\infty]{} \frac{-\infty}{-1} = +\infty.
$$
Portanto o limite diverge para mais infinito.

Resposta

$+\infty$

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