2.6 Um ponto fixo de uma função f é um número c em seu domínio tal que f(c)=c. (A função não movimenta c; ele fica fixo.)
(a) Esboce o gráfico de uma função contínua com domínio [0,1] cuja imagem também é [0,1]. Localize um ponto fixo de f.
(b) Tente fazer o gráfico de uma função contínua com domínio [0,1] e imagem em [0,1] que não tenha um ponto fixo. Qual é o obstáculo?
© Use o Teorema do Valor Intermediário para demonstrar que toda função contínua com domínio [0,1] e a imagem [ 0,1 ] deve ter um ponto fixo.

Passo 1

O enunciado quer que a gente trabalhe com uma função contínua f: [0,1]→[0,1] e encontre (ou mostre que sempre existe) um ponto c tal que f©=c. O conteúdo central é ponto fixo e vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (TVI), que diz: se h é contínua em [a,b] e h(a)·h(b)≤0, então existe z∈[a,b] com h(z)=0.

Passo 2

Para (a), uma escolha bem simples é f(x)=1−x, que leva [0,1] em [0,1] e é contínua. O gráfico é uma reta que parte de (0,1) e vai até (1,0). A reta y=x cruza esse gráfico exatamente em x=½, porque f(½)=1−½=½. Aí está o ponto fixo c=½.

Passo 3

Em (b), se a gente tentar desenhar uma f contínua sem ponto fixo, teríamos que manter f(x)>x para todo x ou f(x)<x para todo x. Mas em x=0 temos 0≤f(0)≤1, então não dá para ter f(0)<0; e em x=1 temos 0≤f(1)≤1, logo não dá para ter f(1)>1. Isso cria um “impasse” nos extremos: não tem como não cruzar a reta y=x.

Passo 4

Para ©, definimos uma função auxiliar g(x)=f(x)−x, que herda continuidade de f e da função x↦x. Então
Usando a definição de g, temos g(0)=f(0)−0≥0 e g(1)=f(1)−1≤0. Como g é contínua e g(0)·g(1)≤0, o TVI garante que existe c∈[0,1] com g©=0. Daí f©−c=0, ou seja, f©=c.

Resposta

Qualquer função contínua f:[0,1]→[0,1] tem pelo menos um ponto fixo c∈[0,1] tal que f©=c.

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