Calcule os seguintes limites:
lim x infty 2 x^2+3 x-1x^2-4

Passo 1

Vamos resolver o limite lim x infty 2 x^2+3 x-1x^2-4. Este exercício está relacionado ao estudo de limites no infinito em cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como manipular expressões racionais (frações onde o numerador e o denominador são polinômios) quando x tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, observamos os termos de maior grau no numerador e no denominador. No numerador, o termo de maior grau é 2x^2, e no denominador é x^2. Quando x tende ao infinito, os termos de menor grau (como 3x e -1 no numerador, e -4 no denominador) tornam-se insignificantes comparados aos termos de maior grau.

Passo 3

Para simplificar, podemos dividir todos os termos do numerador e do denominador por x^2, que é o maior grau presente. Isso nos ajuda a analisar o comportamento da função quando x cresce sem limites. Assim, a expressão fica:
2x^2+3x-1x^2-4 = 2x^2x^2 + 3xx^2 - 1x^2x^2x^2 - 4x^2

Passo 4

Simplificando cada termo, temos:
2 + 3x - 1x^21 - 4x^2
À medida que x tende ao infinito, 3x e 1x^2 no numerador, assim como 4x^2 no denominador, tendem a zero, pois qualquer número dividido por um número muito grande se aproxima de zero.

Passo 5

Portanto, a expressão simplificada para valores muito grandes de x é:
2 + 0 - 01 - 0 = 21 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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