Determine os limites laterais e o limite total, se existir:
lim x -3^+ x+3x^2-9 e lim x -3^- x+3x^2-9

Passo 1

O enunciado pede para calcular os limites laterais
limxto-3^+x+3x^2-9 e
limxto-3^-x+3x^2-9,
além do limite total em x=-3, se existir. O conteúdo é limites de funções racionais com fatoração e simplificação da expressão para tratar a forma tfrac00.

Passo 2

Observamos que
x^2-9=(x-3)(x+3)
Para xneq-3 podemos simplificar
x+3x^2-9=x+3(x-3)(x+3)=1x-3
Essa forma simplificada vale em qualquer ponto próximo de -3, exceto em x=-3 onde a função original não está definida.

Passo 3

Para o limite pela direita, usamos a forma simplificada
1x-3. Como essa função é contínua em x=-3, basta substituir x=-3 no denominador:
xto-3^+;Longrightarrow;x-3to -6 Longrightarrow limxto-3^+1x-3=1-6=-16

Passo 4

Para o limite pela esquerda, procedemos de modo idêntico:
xto-3^-;Longrightarrow;x-3to -6 Longrightarrow limxto-3^-1x-3=1-6=-16

Passo 5

Como as duas indicações laterais são iguais, o limite total existe e vale o mesmo valor:
limxto-3x+3x^2-9=-16

Resposta

limxto-3^+x+3x^2-9=-16,
limxto-3^-x+3x^2-9=-16,
limxto-3x+3x^2-9=-16

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