Calcule os seguintes limites.
lim x infty x^2+3 x+1-x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxtoinftyl(raizx^2+3x+1-xr). O conteúdo é limites de funções envolvendo indeterminação do tipo infty-infty, e vamos precisar usar a racionalização (conjugado) e as propriedades de limites.

Passo 2

Ao fazermos a substituição direta como xtoinfty, vemos que raizx^2+3x+1toinfty e xtoinfty, gerando a forma indeterminada infty-infty. Para resolver isso, a estratégia é multiplicar a expressão pelo conjugado sobre ele mesmo:
Vamos multiplicar e dividir por raizx^2+3x+1+x:
raizx^2+3x+1-x = l(raizx^2+3x+1-xr)l(raizx^2+3x+1+xr)raizx^2+3x+1+x = x^2+3x+1 - x^2raizx^2+3x+1+x = 3x+1raizx^2+3x+1+x

Passo 3

Agora dividimos numerador e denominador por x para usar theorema do limite de quociente:
3x+1raizx^2+3x+1+x = 3 + tfrac1xraiz1 + tfrac3x + tfrac1x^2 + 1

Passo 4

Quando xtoinfty, temos tfrac1xto0 e tfrac1x^2to0, então
limxtoinfty3 + tfrac1xraiz1 + tfrac3x + tfrac1x^2 + 1 = 3+0raiz1+0+0 + 1 = 31+1

Resposta

tfrac32

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