Determine o domínio da função
f(x)=ln ((x^3-x^2-6 x) raiz-x^2+3 x+4)

Passo 1

O enunciado pede o domínio da função f(x)=lnl((x^3 - x^2 -6x)raiz-x^2+3x+4r). Vamos usar a teoria de logaritmo (argumento > 0) e de raiz quadrada (argumento de raizcdot ≥ 0).

Passo 2

Para que raiz-x^2+3x+4 seja real, precisamos de
-x^2+3x+4 >= 0
Resolvendo x^2-3x-4<=0, as raízes são x=-1 e x=4, logo
-1 <= x <= 4
Como o logaritmo exige argumento estritamente positivo e a raiz não pode zerar o produto, restringimos para
-1 < x < 4 .

Passo 3

O fator polinomial é
P(x)=x^3 - x^2 -6x = x(x^2 - x -6) = x(x-3)(x+2)
Estudando o sinal em -1,4):
  • Em -1,0): x<0, x-3<0, x+2>0 P(x)>0.
  • Em 0,3): x>0, x-3<0, x+2>0 P(x)<0.
  • Em 3,4): x>0, x-3>0, x+2>0 P(x)>0.

Passo 4

Para ter o argumento do logaritmo positivo é preciso raiz-x^2+3x+4>0 e P(x)>0. Intersectando com -1,4), obtemos os intervalos onde ambas condições valem simultaneamente: (-1,0) e (3,4).

Resposta

(-1,0)\cup(3,4)

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