Estude a continuidade da função f(x, y)=x^2+y10 no ponto (0,0).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estudar a continuidade da função f(x, y) = x^2 + y10 no ponto (0,0) . Para isso, vamos usar os conceitos de limites e continuidade em funções de duas variáveis. Basicamente, precisamos verificar se o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto (0,0) . Substituindo x = 0 e y = 0 na função, temos:
f(0, 0) = 0^2 + 010 = 010 = 0
Então, f(0, 0) = 0 .

Passo 3

Agora, precisamos calcular o limite de f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) . Isso significa que vamos analisar o comportamento da função à medida que x e y ficam muito perto de zero.
A função é f(x, y) = x^2 + y10 . Vamos reescrever isso para facilitar:
f(x, y) = x^210 + y10

Passo 4

Vamos analisar o limite de cada termo separadamente.
Primeiro, o limite de x^210 quando x tende a 0 é:
limx to 0 x^210 = 010 = 0
Segundo, o limite de y10 quando y tende a 0 é:
limy to 0 y10 = 010 = 0

Passo 5

Como os limites dos dois termos são 0, o limite geral da função f(x, y) quando (x, y) se aproxima de (0,0) é:
lim(x, y) to (0,0) x^2 + y10 = 0 + 0 = 0

Passo 6

Agora, comparamos o limite que acabamos de calcular com o valor da função no ponto (0,0) :
lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = 0 = f(0, 0)
Isso mostra que o limite da função na vizinhança de (0,0) é igual ao valor da função no próprio ponto.

Resposta

A função f(x, y) = x^2 + y10 é contínua no ponto (0,0) .

Exercícios relacionados