Estude a continuidade da função
no ponto
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa estudar a continuidade da função
no ponto
. Para isso, vamos usar os conceitos de limites e continuidade em funções de duas variáveis. Basicamente, precisamos verificar se o limite de
quando
se aproxima de
é igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o valor da função no ponto
. Substituindo
e
na função, temos:
Então,
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Isso significa que vamos analisar o comportamento da função à medida que
e
ficam muito perto de zero.
A função é
. Vamos reescrever isso para facilitar:
Passo 4
Vamos analisar o limite de cada termo separadamente.
Primeiro, o limite de
quando
tende a 0 é:
Segundo, o limite de
quando
tende a 0 é:
Passo 5
Como os limites dos dois termos são 0, o limite geral da função
quando
se aproxima de
é:
Passo 6
Agora, comparamos o limite que acabamos de calcular com o valor da função no ponto
:
Isso mostra que o limite da função na vizinhança de
é igual ao valor da função no próprio ponto.
Resposta
A função
é contínua no ponto
.