Calcule os seguintes limites.
lim x infty(2 x+32 x+1)^2 x+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxtoinftyl(2x+32x+1r)^2x+1
O conteúdo aqui é o limite de uma expressão da forma (1+u(x))^v(x) quando xtoinfty, que se resolve usando a definição do número e e a transformação com logaritmo.

Passo 2

Reescrevemos a base como
2x+32x+1 =2x+1+22x+1 =1+22x+1
Defina
t = 2x+1,
então, quando xtoinfty, temos ttoinfty. A expressão original fica
l(1+2tr)^t

Passo 3

Chame o limite de
L = limttoinftyl(1+2tr)^t
Para vê-lo, considere o logaritmo natural:
ln L =limttoinftytlnl(1+2tr)

Passo 4

Usamos o fato de que, para a fixo,
limttoinftytlnl(1+atr)=a
Aqui a=2, logo
ln L = 2 Longrightarrow L = e^2

Resposta

e^2

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