Calcule os seguintes limites :
lim x -infty x+cos (x)

Passo 1

Nesse exercício buscamos calcular o limite quando x tende a -infty de x + cos(x). O conteúdo envolve limites no infinito e a soma de funções, sendo uma função que diverge para -infty e outra função limitada. Para resolver, vamos usar a propriedade de que uma função limitada somada a uma que diverge mantém a divergência.

Passo 2

Sabemos que cos(x) é uma função periódica e limitada, pois satisfaz a desigualdade:
-1 <= cos(x) <= 1
e seu valor nunca ultrapassa esses limites.

Passo 3

A função x diverge para -infty quando x to -infty, pois é uma função linear cujo valor fica arbitrariamente negativo à medida que x decresce sem limite.

Passo 4

Pela propriedade de soma de funções, se f(x) to -infty e g(x) está limitada, então f(x) + g(x) to -infty. Aplicando aqui com f(x)=x e g(x)=cos(x), concluímos que o limite desejado é -infty.

Resposta

-infty

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