Obtenha a forma fraca do seguinte problema a valores no contorno restrito a um elemento quadrático genérico:
& d^2d chi^2 u+k u^2=f, 0

Passo 1

O problema é um BVP 1D não‐linear em um elemento de comprimento h_e, dado por em com condições de Neumann e . Precisamos formular a forma fraca usando funções de teste e depois restringir ao elemento quadrático genérico.

Passo 2

Multiplicamos a equação diferencial por uma função de teste integral0^hel(d^2udchi^2+k,u^2-fr),v,dchi=0 e integramos sobre :

Passo 3

No termo de segunda derivada aplicamos integração por partes para transferir uma derivada de integral0^hed^2udchi^2v,dchi=l[u'vr]0^he-integral0^heu',v',dchi para :

Passo 4

Substituímos as condições de contorno Neumann em . Como e , o termo de contorno vira .

Passo 5

A forma fraca contínua fica assim: para todo integral0^heu',v',dchi + kintegral0^heu^2,v,dchi = integral0^hef,v,dchi + Q1,v(0)+Q3,v(he) ,

Passo 6

Agora restringimos ao elemento quadrático genérico, aproximando
integral0^heB^T B,dchi;ue + kintegral0^heN^Tl(N,uer)^2,dchi = integral0^heN^T f,dchi + Q1,N(0)+Q3,N(he) , e definindo . A forma fraca elementar em notação matricial fica

Resposta

A forma fraca restrita ao elemento quadrático genérico é:
Para todo vetor de teste integral0^he d u^hdchid v^hdchi,dchi + kintegral0^he l(u^hr)^2 v^h,dchi = integral0^he f,v^h,dchi + Q1,v^h(0) + Q3,v^h(he) ,
integral0^he B^T B,dchi;ue + kintegral0^he N^Tl(Nuer)^2,dchi = integral0^he N^T f,dchi + Q1,N(0)+Q3,N(he)
e, em notação matricial com , , :

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