O modelo global de elementos finitos da condução de calor em regime permanente numa parede é dado por:
[rrr 10 & -5 & 0 -5 & 20 & -5 0 & -5 & 10 ]l u1 u2 u3 =c 500 1000 500 +l Q1 Q2 Q3
As condições de contorno na parede são temperatura de 1000^circ C na face esquerda e calor dissipado por convecção natural num ambiente a 25^circ C, na direita. Imponha as condições de contorno no modelo, rearranje e resolva o sistema de equações algébricas, apresentando a solução do problema. Os coeficientes de condutividade térmica e de convecção natural valem respectivamente 150 W cdot m^-1 ^circ C^-1 e 30 W cdot m^-2 ^circ C^-1.

Passo 1

Temos o modelo global de condução em regime permanente com matriz de rigidez, vetor de fontes internas e vetor de fluxos de contorno, dado por
[ 10 & -5 & 0 -5 & 20 & -5 0 & -5 & 10{u_1,u_2,u_3} = {500,1000,500} + {Q_1,Q_2,Q_3}. O conteúdo é condução 1D por elementos finitos. Vamos impor condição de temperatura fixa em u1 e convecção em u3.

Passo 2

Para a convecção natural em u3 valem h=30 W/m^2,°C e Tinfty=25 ^circC. Isso adiciona ao sistema um termo de rigidez hA=30 em K33 e um termo de fonte Q3=hA,Tinfty=30times25=750. Não há convecção nos demais nós, logo Q1=Q2=0.

Passo 3

O sistema modificado fica
[ 10 & -5 & 0 -5 & 20 & -5 0 & -5 & 10+30{u_1,u_2,u_3} = {500,1000,500+750}.
Ou seja
[ 10 & -5 & 0 -5 & 20 & -5 0 & -5 & 40{u_1,u_2,u_3} = {500,1000,1250}.

Passo 4

Agora impomos a condição de contorno Dirichlet u1=1000 ^circC. Eliminamos a primeira equação e coluna, levando o termo de acoplamento para o lado direito:
Para o nó 2:
-5cdot1000 + 20,u2 -5,u3 = 1000
que rearranja para
20,u2 -5,u3 = 1000 + 5000 = 6000
Para o nó 3:
-5,u2 + 40,u3 = 1250

Passo 5

Resolvendo o sistema
20,u2 -5,u3 = 6000, -5,u2 +40,u3 =1250,
fazemos de primeira u2=(6000+5u3)/20 e substituímos na segunda:
-56000+5u320 + 40u3 =1250
Multiplicando por 20:
-30000 -25u3 +800u3 =25000
775,u3 =55000implies u3=55000775approx70.97
Então
u2=6000+5times70.9720approx317.74

Passo 6

Assim obtemos todos os graus de liberdade: u1 já fixo em 1000 ^circC, u2approx317.74 ^circC e u3approx70.97 ^circC.

Resposta

u1 = 1000 ^circC, u2 approx 317.74 ^circC, u3 approx 70.97 ^circC

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