Determine se a série dada é absolutamente convergente, convergente ou divergente.
.
Passo 1
O enunciado pede para analisar a série
. O conteúdo é teste de convergência de série, mais precisamente série geométrica, e vamos usar a definição e o critério de convergência de séries geométricas.
Passo 2
Reescrevemos o termo geral em forma de potência:
Assim, nossa série fica
com
.
Passo 3
Lembrando que uma série geométrica
converge se, e só se,
. Aqui temos
.
Como é a recíproca de
, sabemos que
. Logo, a série geométrica converge.
Além disso, todos os termos são positivos, então a convergência é absoluta.
Como
Além disso, todos os termos
Passo 4
Portanto, a série
é absolutamente convergente.
Resposta
A série converge absolutamente.