Calcule os seguintes limites:
lim x +infty[raizx^2+x-raizx^2+4]

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limxto+inftyl[raizx^2+x-raizx^2+4r]
O conteúdo principal é lidar com a diferença de duas raízes quando x cresce muito. Para isso, vamos usar a técnica de multiplicar pelo conjugado.

Passo 2

Multiplicamos a expressão dentro do limite pelo conjugado de raizx^2+x-raizx^2+4, isto é,
raizx^2+x-raizx^2+4 = l(raizx^2+x-raizx^2+4r)l(raizx^2+x+raizx^2+4r)raizx^2+x+raizx^2+4

Passo 3

No numerador, usamos a diferença de quadrados:
l(raizx^2+xr)^2-l(raizx^2+4r)^2 =(x^2+x)-(x^2+4)=x-4
Logo
raizx^2+x-raizx^2+4 =x-4raizx^2+x+raizx^2+4

Passo 4

Como xto+infty e x>0, dividimos numerador e denominador por x:
x-4raizx^2+x+raizx^2+4 =xl(1-tfrac4xr)xl(raiz1+tfrac1x+raiz1+tfrac4x^2r) =1-tfrac4xraiz1+tfrac1x+raiz1+tfrac4x^2

Passo 5

Aplicando o limite em cada parte, temos
limxto+inftyl(1-tfrac4xr)=1, limxto+inftyraiz1+tfrac1x=1, limxto+inftyraiz1+tfrac4x^2=1
Portanto,
limxto+inftyl[raizx^2+x-raizx^2+4r] =11+1 =12

Resposta

12

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