Encontre uma equação em coordenadas esféricas para x^2-4 z^2+y^2=0.
4. Use coordenadas esféricas para calcular o centroide do sólido G limitado acima pela esfera x^2+y^2+z^2=16 e abaixo pelo cone z=raizx^2+y^2.

Passo 1

O enunciado pede dois itens: (a) encontrar em coordenadas esféricas a superfície dada por x^2-4z^2+y^2=0 e (b) calcular o centroide do sólido G limitado acima pela esfera x^2+y^2+z^2=16 e abaixo do cone z=raizx^2+y^2. Para isso vamos usar conversão de coordenadas esféricas e integrais triplas.\n

Passo 2

Para reescrever x^2-4z^2+y^2=0 em coordenadas esféricas usamos
x=rhosinphicostheta, y=rhosinphisintheta, z=rhocosphi
Substituindo obtemos
rho^2(sin^2phi -4cos^2phi)=0
Como rhoneq0 na superfície, temos
sin^2phi -4cos^2phi=0 Longrightarrow tan^2phi=4 Longrightarrow phi=arctan(2) \n

Passo 3

Para o centroide de G note que a região em esféricas é
0<=theta<=2pi, 0<=phi<=pi4, 0<=rho<=4,
pois z>=raizx^2+y^2 implica phi<=pi/4 e o sólido está dentro da esfera de raio 4.
Pela simetria em theta, temos xC=yC=0. Vamos calcular zC via
zC=1Vintegral triplaGz,dV,
onde dV=rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta e z=rhocosphi.\n

Passo 4

O volume V é
V=integral0^2pi!!integral0^pi/4!!integral0^4rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Primeiro integral0^4rho^2drho=tfrac643 e integral0^pi/4sinphi,dphi=1-tfracraiz22. Logo
V=2picdot643l(1-raiz22r) =128pi3l(1-raiz22r) \n

Passo 5

O momento em z é
Mz=integral0^2pi!!integral0^pi/4!!integral0^4(rhocosphi),rho^2sinphi,drho,dphi,dtheta
Aqui integral0^4rho^3drho=64 e integral0^pi/4sinphicosphi,dphi=tfrac14. Portanto
Mz=2picdot64cdot14=32pi \n

Passo 6

O z-coordenada do centroide é
zC=MzV =32pitfrac128pi3l(1-tfracraiz22r) =96128l(1-tfracraiz22r) =32(2-raiz2) =3(2+raiz2)4 \n

Resposta

(a) phi=arctan(2)
(b) (xC,yC,zC)=l(0,0,3(2+raiz2)4r)

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