Encontre uma equação em coordenadas esféricas para
.
4. Use coordenadas esféricas para calcular o centroide do sólido
limitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
.
4. Use coordenadas esféricas para calcular o centroide do sólido
Passo 1
O enunciado pede dois itens: (a) encontrar em coordenadas esféricas a superfície dada por
e (b) calcular o centroide do sólido
limitado acima pela esfera
e abaixo do cone
. Para isso vamos usar conversão de coordenadas esféricas e integrais triplas.\n
Passo 2
Para reescrever
em coordenadas esféricas usamos
Substituindo obtemos
Como
na superfície, temos
Passo 3
Para o centroide de
note que a região em esféricas é
pois
implica
e o sólido está dentro da esfera de raio
.
Pela simetria em , temos
. Vamos calcular
via
Pela simetria em
onde
e
.\n
Passo 4
O volume
é
Primeiro
e
. Logo
Passo 5
O momento em
é
Aqui
e
. Portanto
Passo 6
O
-coordenada do centroide é
Resposta
(a)
(b)
(b)