Calcule os seguintes limites:
lim x 0 (raiz1+x^2+x)^m-(raiz1+x^2-x)^mx

Passo 1

O enunciado pede o limite \n$\lim_{x\to 0} \frac{(\sqrt{1+x2}+x)m - (\sqrt{1+x2}-x)m}{x}$. O conteúdo que vamos usar é cálculo de limites de forma 0/0 e derivadas (regra da diferenciação de soma de funções).

Passo 2

Vamos definir a função\n\[
f(x) = (\sqrt{1+x2}+x)m - (\sqrt{1+x2}-x)m
]\nNote que para $x=0)\ f(0)=1m-1m=0\, logo o limite \n\(\lim_{x\to0} f(x)/x$\é a derivada $f’(0)$ sempre que existir.

Passo 3

Precisamos do derivado de $f(x)$. Primeiro definimos $A(x)=\sqrt{1+x^2}$ e calculamos \n\[
A’(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.
]

Passo 4

Agora aplicamos a regra da cadeia e da soma para obter \n\[
f’(x)=m,(A(x)+x){m-1},(A’(x)+1);-;m,(A(x)-x){m-1},(A’(x)-1).
]

Passo 5

Basta avaliar em $x=0$. Temos $A(0)=1$ e $A’(0)=0$. Substituindo: \n\[
f’(0)=m,1^{m-1}(0+1) - m,1^{m-1}(0-1)=m - (-m)=2m.
]

Resposta

O limite vale 2m.

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