Calcule os seguintes limites:
lim x 0 tg(a x)b x
Obs: As constantes a e b são diferentes de zero.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite de quando tende para 0. Aqui, e são constantes diferentes de zero. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de limites e conhecermos um limite básico envolvendo a tangente.

Passo 2

Primeiro, lembramos que quando limx to 0 tan(x)x = 1 está perto de 0, a tangente de pode ser aproximada por mesmo. Ou seja:
Esse é um limite fundamental que vamos usar aqui.

Passo 3

Agora, vamos adaptar esse limite para a expressão que temos. Observe que dentro da tangente temos tan(a x)b x = tan(a x)a x times ab em vez de apenas . Então, vamos reescrever a expressão assim:
Aqui, separamos a fração em duas partes para facilitar a aplicação do limite conhecido.

Passo 4

Agora, podemos calcular o limite de cada parte separadamente. Primeiro, olhamos para limx to 0 tan(a x)a x = 1 . Usando o limite que sabemos:
Isso porque a função se comporta como quando está próximo de 0.

Passo 5

A segunda parte que temos é a constante limx to 0 ab = ab . Como não depende de , o limite dessa parte é ele mesmo:

Passo 6

Finalmente, juntando os dois limites que calculamos:
limx to 0 tan(a x)b x = 1 times ab = ab

Resposta

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