Calcule os seguintes limites:
Obs: As constantes
e
são diferentes de zero.
Obs: As constantes
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite de
quando
tende para 0. Aqui,
e
são constantes diferentes de zero. Para resolver isso, vamos usar algumas propriedades de limites e conhecermos um limite básico envolvendo a tangente.
Passo 2
Primeiro, lembramos que quando
está perto de 0, a tangente de
pode ser aproximada por
mesmo. Ou seja:
Esse é um limite fundamental que vamos usar aqui.
Passo 3
Agora, vamos adaptar esse limite para a expressão que temos. Observe que dentro da tangente temos
em vez de apenas
. Então, vamos reescrever a expressão assim:
Aqui, separamos a fração em duas partes para facilitar a aplicação do limite conhecido.
Passo 4
Agora, podemos calcular o limite de cada parte separadamente. Primeiro, olhamos para
. Usando o limite que sabemos:
Isso porque a função
se comporta como
quando
está próximo de 0.
Passo 5
A segunda parte que temos é a constante
. Como não depende de
, o limite dessa parte é ele mesmo:
Passo 6
Finalmente, juntando os dois limites que calculamos: