1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow-2} 10^{\frac{4 x^{2}+6 x-2}{3 x+4}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to-2} 10^{\frac{4x^{2}+6x-2}{3x+4}}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A função é uma exponencial de base 10 cuja potência é a função racional \dfrac{4x^{2}+6x-2}{3x+4}.
  • O ponto de interesse é x\to-2.
  • Os polinômios envolvidos são o numerador 4x^{2}+6x-2 e o denominador 3x+4.

Passo 2

Ideia-chave (conceito necessário): se uma função g é contínua num ponto e f(x) tem limite L nesse ponto, então a composição g(f(x)) tem limite g(L). A função g(t)=10^{t} é contínua para todo t\in\mathbb{R} (bases positivas geram funções exponenciais contínuas). Portanto, se conseguirmos calcular
\lim_{x\to-2}\frac{4x^{2}+6x-2}{3x+4}=L
com L finito, então vale
\lim_{x\to-2}10^{\frac{4x^{2}+6x-2}{3x+4}}=10^{L}.
Explicando de forma simples: podemos “levar o limite para dentro” da exponencial porque a exponencial não tem quebras — ela não dá saltos — então o comportamento da potência determina o limite da função toda.

Passo 3

Agora calculamos o limite da potência, que é uma função racional. Para limites de funções racionais, quando o numerador e o denominador são polinômios, se o denominador no ponto de interesse é diferente de zero podemos simplesmente substituir x pelo ponto (continuidade dos polinômios e da divisão quando o divisor é não nulo).
Calcule o numerador em x=-2:
4x^{2}+6x-2 \quad\text{em}\quad x=-2:
4(-2)^{2}+6(-2)-2 = 4\cdot 4 -12 -2 = 16 -12 -2 = 2.
Calcule o denominador em x=-2:
3x+4 \quad\text{em}\quad x=-2:
3(-2)+4 = -6 + 4 = -2.
Como o denominador é diferente de zero ( -2\neq 0), a substituição é válida. Portanto o limite da potência é
\lim_{x\to-2}\frac{4x^{2}+6x-2}{3x+4}=\frac{2}{-2}=-1.

Passo 4

Aplicando o resultado do Passo 2 (composição com função contínua), obtemos
\lim_{x\to-2}10^{\frac{4x^{2}+6x-2}{3x+4}} = 10^{-1}.
E 10^{-1} pode ser escrito como a fração
10^{-1}=\frac{1}{10}.

Passo 5

Resumo didático — como resolver um caso parecido na prova:
  1. Identifique se a função é uma composição g(f(x)) com g contínua (por exemplo g(t)=a^{t} com a>0 é contínua).
  2. Calcule o limite de f(x) quando x se aproxima do ponto. Se f for racional polinomial e o denominador no ponto for não nulo, substitua diretamente.
  3. Se o limite L de f(x) for finito, então o limite da composição é g(L).
  4. Se o denominador for zero ou o limite for indeterminado, aí entra L’Hôpital ou fatoração — nesses casos faça simplificações antes de aplicar a exponencial.
Você conseguiu! Seguindo esses passos rápidos você resolve esse tipo de limite sem pânico.

Resposta

\dfrac{1}{10}

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