- Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A função é uma exponencial de base
cuja potência é a função racional . - O ponto de interesse é
. - Os polinômios envolvidos são o numerador
e o denominador .
Passo 2
Ideia-chave (conceito necessário): se uma função
é contínua num ponto e
tem limite
nesse ponto, então a composição
tem limite
. A função
é contínua para todo
(bases positivas geram funções exponenciais contínuas). Portanto, se conseguirmos calcular
com
finito, então vale
Explicando de forma simples: podemos “levar o limite para dentro” da exponencial porque a exponencial não tem quebras — ela não dá saltos — então o comportamento da potência determina o limite da função toda.
Passo 3
Agora calculamos o limite da potência, que é uma função racional. Para limites de funções racionais, quando o numerador e o denominador são polinômios, se o denominador no ponto de interesse é diferente de zero podemos simplesmente substituir
pelo ponto (continuidade dos polinômios e da divisão quando o divisor é não nulo).
Calcule o numerador em
:
Calcule o denominador em
:
Como o denominador é diferente de zero (
), a substituição é válida. Portanto o limite da potência é
Passo 4
Aplicando o resultado do Passo 2 (composição com função contínua), obtemos
E
pode ser escrito como a fração
Passo 5
Resumo didático — como resolver um caso parecido na prova:
- Identifique se a função é uma composição
com contínua (por exemplo com é contínua). - Calcule o limite de
quando se aproxima do ponto. Se for racional polinomial e o denominador no ponto for não nulo, substitua diretamente. - Se o limite
de for finito, então o limite da composição é . - Se o denominador for zero ou o limite for indeterminado, aí entra L’Hôpital ou fatoração — nesses casos faça simplificações antes de aplicar a exponencial.
Você conseguiu! Seguindo esses passos rápidos você resolve esse tipo de limite sem pânico.