1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow 0} e^{\frac{3 x+2}{x-1}}

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to 0} e^{\frac{3x+2}{x-1}}.
Informações dadas:
  • A expressão é a função composta x \mapsto e^{\frac{3x+2}{x-1}}.
  • O ponto onde x se aproxima é x=0.
  • Não há imagens ou dados adicionais.

Passo 2

Vamos pensar em passos simples usando propriedades básicas de limites. Ideia geral (sem fazer contas ainda):
  • Primeiro calculo o limite da parte do expoente, isto é \lim_{x\to0}\dfrac{3x+2}{x-1}.
  • Depois uso que a função exponencial e^{t} é contínua em todo t\in\mathbb{R}, então \lim_{x\to0} e^{\frac{3x+2}{x-1}} = e^{\lim_{x\to0}\frac{3x+2}{x-1}}, desde que o limite do expoente exista finito.
    Explicando as ferramentas que vou usar:
  • Regra de soma e multiplicação para limites: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M, então \lim_{x\to a} (f+g)=L+M e \lim_{x\to a} (cf)=cL.
  • Regra do quociente: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com M\neq0, então \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{L}{M}.
  • Continuidade da exponencial: e^{t} é contínua, logo o limite da composição é a exponencial do limite do argumento.

Passo 3

Calcular o limite do numerador do expoente:
\lim_{x\to0} (3x+2).
Usando linearidade do limite (limite de soma e de constante multiplicada):
  • \lim_{x\to0} 3x = 3\cdot 0 = 0.
  • \lim_{x\to0} 2 = 2.
    Portanto
\lim_{x\to0} (3x+2) = 0 + 2 = 2.

Passo 4

Calcular o limite do denominador do expoente:
\lim_{x\to0} (x-1).
Novamente, \lim_{x\to0} x = 0 e \lim_{x\to0} (-1) = -1, então
\lim_{x\to0} (x-1) = 0 - 1 = -1.
Observe que esse limite é diferente de zero, condição necessária para aplicar a regra do quociente.

Passo 5

Calcular o limite do quociente (o expoente):
Como os limites do numerador e do denominador existem e o limite do denominador é -1\neq0, pela regra do quociente:
\lim_{x\to0} \frac{3x+2}{x-1} = \frac{\displaystyle\lim_{x\to0}(3x+2)}{\displaystyle\lim_{x\to0}(x-1)} = \frac{2}{-1} = -2.
Interpretação: quando x se aproxima de 0, o expoente \dfrac{3x+2}{x-1} se aproxima de -2.

Passo 6

Passar a exponencial para fora do limite: como a função t\mapsto e^{t} é contínua para todo t, vale
\lim_{x\to0} e^{\frac{3x+2}{x-1}} = e^{\displaystyle\lim_{x\to0}\frac{3x+2}{x-1}}.
Substituindo o limite do expoente encontrado:
\lim_{x\to0} e^{\frac{3x+2}{x-1}} = e^{-2}.
Por curiosidade numérica, e^{-2}\approx 0,1353 (mas o resultado exato mais elegante é e^{-2}).

Resposta

e^{-2}

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