- Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações dadas:
- A expressão é a função composta
. - O ponto onde
se aproxima é . - Não há imagens ou dados adicionais.
Passo 2
Vamos pensar em passos simples usando propriedades básicas de limites. Ideia geral (sem fazer contas ainda):
- Primeiro calculo o limite da parte do expoente, isto é
. - Depois uso que a função exponencial
é contínua em todo , então , desde que o limite do expoente exista finito.
Explicando as ferramentas que vou usar: - Regra de soma e multiplicação para limites: se
e , então e . - Regra do quociente: se
e com , então . - Continuidade da exponencial:
é contínua, logo o limite da composição é a exponencial do limite do argumento.
Passo 3
Calcular o limite do numerador do expoente:
Usando linearidade do limite (limite de soma e de constante multiplicada):
-
. -
.
Portanto
Passo 4
Calcular o limite do denominador do expoente:
Novamente,
e
, então
Observe que esse limite é diferente de zero, condição necessária para aplicar a regra do quociente.
Passo 5
Calcular o limite do quociente (o expoente):
Como os limites do numerador e do denominador existem e o limite do denominador é , pela regra do quociente:
Como os limites do numerador e do denominador existem e o limite do denominador é
Interpretação: quando
se aproxima de
, o expoente
se aproxima de
.
Passo 6
Passar a exponencial para fora do limite: como a função
é contínua para todo
, vale
Substituindo o limite do expoente encontrado:
Por curiosidade numérica,
(mas o resultado exato mais elegante é
).