1. Calcule os seguintes limites:
    \lim _{x \rightarrow-2} 3^{x^{2}+6 x+2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to -2} 3^{x^{2}+6x+2}.
Informações dadas e o que precisamos encontrar:
  • A função cuja limite queremos é x\mapsto 3^{x^{2}+6x+2}.
  • O ponto de aproximação é x\to -2.
  • Precisa-se encontrar o valor numérico do limite (um número real).

Passo 2

Ideia principal (explicada passo a passo): se a parte exponencial interna x^{2}+6x+2 tem limite finito quando x\to-2 e a função exponencial t\mapsto 3^{t} é contínua para todo t\in\mathbb{R}, então o limite da composição é a composição dos limites. Em palavras: limite de 3^{(\cdot)} quando a entrada converge é 3 elevado ao limite da entrada.
Breve explicação do porquê: polinômios são contínuos em todo ponto (portanto têm limite igual ao valor no ponto). A função exponencial de base 3 é contínua para todos os reais. Para funções contínuas, vale
\lim_{x\to a} f(g(x)) = f\!\big(\lim_{x\to a} g(x)\big),
desde que \lim_{x\to a} g(x) exista.

Passo 3

Calcular o limite da parte interna (o polinômio). Como polinômios são contínuos, basta substituir x=-2 na expressão x^{2}+6x+2. Faço a conta passo a passo:
(-2)^{2} + 6\cdot(-2) + 2 = 4 - 12 + 2.
Agora somo em ordem:
4 - 12 = -8,\qquad -8 + 2 = -6.
Portanto
\lim_{x\to -2} \big(x^{2}+6x+2\big) = -6.

Passo 4

Aplicando a continuidade da função exponencial de base 3: como \lim_{x\to -2} (x^{2}+6x+2) = -6, segue
\lim_{x\to -2} 3^{x^{2}+6x+2} = 3^{-6}.

Passo 5

Simplificar 3^{-6} para uma forma mais explícita. Primeiro calculemos 3^{6} passo a passo:
3^{2}=9,\quad 3^{3}=27,\quad 3^{4}=81,\quad 3^{5}=243,\quad 3^{6}=729.
Logo 3^{-6}=\dfrac{1}{3^{6}}=\dfrac{1}{729}.

Resposta

\dfrac{1}{729}

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