(9) Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}^{-}} \frac{\ln (\operatorname{tg} x)}{\operatorname{tg} x}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^{-}} \frac{\ln(\operatorname{tg} x)}{\operatorname{tg} x}.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  • A variável x aproxima-se de \frac{\pi}{2} pela esquerda (indicada por \frac{\pi}{2}^{-}).
  • A expressão envolve \operatorname{tg} x e \ln(\operatorname{tg} x).

Passo 2

Entender o comportamento de \operatorname{tg} x quando x \to \frac{\pi}{2}^{-}. Sabemos (ou lembramos da curva da tangente) que, ao nos aproximarmos de \frac{\pi}{2} pela esquerda, o valor da tangente cresce sem limite positivo. Em termos de limite:
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^{-}} \operatorname{tg} x = +\infty.
Por isso é natural fazer a substituição
t = \operatorname{tg} x.
Essa substituição é válida na vizinhança pela esquerda de \frac{\pi}{2} porque \operatorname{tg} x é contínua e estritamente crescente ali, e a imagem tende a +\infty. Assim o limite original transforma-se no limite em t:
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^{-}} \frac{\ln(\operatorname{tg} x)}{\operatorname{tg} x} = \lim_{t \to +\infty} \frac{\ln t}{t}.

Passo 3

Agora vamos estudar o limite
\lim_{t \to +\infty} \frac{\ln t}{t}.
Observe que quando t \to +\infty temos \ln t \to +\infty e t \to +\infty, então a forma é \frac{\infty}{\infty}, que é indeterminada. Um método direto e padrão para tratar essa indeterminação é o Teorema de L’Hôpital.
Lembrete rápido do Teorema de L’Hôpital (versão usada): se f(t) e g(t) são diferenciáveis para t grande o suficiente, e
\lim_{t\to+\infty} f(t) = \lim_{t\to+\infty} g(t) = +\infty,
então, se o limite das derivadas existe ou é \pm\infty,
\lim_{t\to+\infty} \frac{f(t)}{g(t)} = \lim_{t\to+\infty} \frac{f'(t)}{g'(t)}
desde que o limite à direita exista. Aqui podemos aplicar com f(t)=\ln t e g(t)=t, ambos diferenciáveis em (0,+\infty).

Passo 4

Calcule as derivadas:
f'(t) = (\ln t)' = \frac{1}{t}, \qquad g'(t) = (t)' = 1.
Aplicando L’Hôpital,
\lim_{t\to+\infty} \frac{\ln t}{t} = \lim_{t\to+\infty} \frac{1/t}{1} = \lim_{t\to+\infty} \frac{1}{t}.
E é imediato que
\lim_{t\to+\infty} \frac{1}{t} = 0.

Passo 5

Concluímos que
\lim_{t \to +\infty} \frac{\ln t}{t} = 0.
Voltando à substituição t=\operatorname{tg} x, isso implica que
\lim_{x \to \frac{\pi}{2}^{-}} \frac{\ln(\operatorname{tg} x)}{\operatorname{tg} x} = 0.
Comentário didático curto: intuitivamente, o logaritmo cresce muito mais devagar que a função linear; portanto \ln t é “pequena” frente a t quando t vai para o infinito — por isso a razão tende a zero. Você segurou bem até aqui!

Resposta

0

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