(9) Calcule os seguintes limites:
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A variável
aproxima-se de pela esquerda (indicada por ). - A expressão envolve
e .
Passo 2
Entender o comportamento de
quando
. Sabemos (ou lembramos da curva da tangente) que, ao nos aproximarmos de
pela esquerda, o valor da tangente cresce sem limite positivo. Em termos de limite:
Por isso é natural fazer a substituição
Essa substituição é válida na vizinhança pela esquerda de
porque
é contínua e estritamente crescente ali, e a imagem tende a
. Assim o limite original transforma-se no limite em
:
Passo 3
Agora vamos estudar o limite
Observe que quando
temos
e
, então a forma é
, que é indeterminada. Um método direto e padrão para tratar essa indeterminação é o Teorema de L’Hôpital.
Lembrete rápido do Teorema de L’Hôpital (versão usada): se
e
são diferenciáveis para
grande o suficiente, e
então, se o limite das derivadas existe ou é
,
desde que o limite à direita exista. Aqui podemos aplicar com
e
, ambos diferenciáveis em
.
Passo 4
Calcule as derivadas:
Aplicando L’Hôpital,
E é imediato que
Passo 5
Concluímos que
Voltando à substituição
, isso implica que
Comentário didático curto: intuitivamente, o logaritmo cresce muito mais devagar que a função linear; portanto
é “pequena” frente a
quando
vai para o infinito — por isso a razão tende a zero. Você segurou bem até aqui!