Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos x-1}{e^{x}-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\cos x - 1}{e^{x} - 1}.
O conteúdo é limites com forma indeterminada \tfrac{0}{0}, e a forma mais direta é usar a regra de l’Hôpital.

Passo 2

Ao substituir x=0 diretamente, obtemos
\cos 0 - 1 = 0 \quad\text{e}\quad e^{0} - 1 = 0,
portanto temos a forma indeterminada \tfrac{0}{0}.

Passo 3

Aplicando a regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador:
\frac{d}{dx}(\cos x - 1) = -\sin x, \qquad \frac{d}{dx}(e^{x} - 1) = e^{x}.
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\lim_{x\to 0}\frac{\cos x - 1}{e^{x} - 1} = \lim_{x\to 0}\frac{-\sin x}{e^{x}} = \frac{-\sin 0}{e^{0}} = \frac{0}{1} = 0.

Resposta

0

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