Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} e^{2 x} \ln \left(1+e^{-2 x}\right)

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to+\infty}e^{2x}\ln\bigl(1+e^{-2x}\bigr).
Aqui temos uma forma do tipo “infinito × zero”, então vamos transformar isso numa forma de quociente 0/0 que conhecemos bem.

Passo 2

Observe que, quando x\to+\infty, temos
e^{-2x}\to0^+.
Defina
u = e^{-2x},
então u\to0^+ e também
e^{2x} = \frac1{e^{-2x}} = \frac1u.

Passo 3

Substituindo em nosso limite, chama-mos de L, obtemos
L = \lim_{x\to+\infty}e^{2x}\ln\bigl(1+e^{-2x}\bigr) = \lim_{u\to0^+}\frac{\ln(1+u)}{u}.
Agora temos uma forma do tipo “zero sobre zero”.

Passo 4

Usamos o limite notável
\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u} = 1,
ou então a expansão de Taylor
\ln(1+u) = u - \frac{u^2}{2} + \cdots,
que mostra imediatamente que \ln(1+u)/u\to1.

Resposta

\displaystyle 1

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