Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\left(e^{x}-1\right)^{2}}{\cos x-1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{x\to0}\frac{(e^{x}-1)^{2}}{\cos x-1}.
Vamos usar séries de Taylor de \exp(x) e \cos(x) em torno de x=0 para obter as formas assintóticas do numerador e do denominador.

Passo 2

A série de Taylor de \exp(x) até a ordem O(x^3) é
e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2} + O(x^3).
Logo,
e^x - 1 = x + \frac{x^2}{2} + O(x^3),
e ao elevar ao quadrado
(e^x - 1)^2 = \bigl(x + \tfrac{x^2}{2} + O(x^3)\bigr)^2 = x^2 + x^3 + O(x^4).

Passo 3

A expansão de \cos(x) até O(x^4) é
\cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4),
então
\cos x - 1 = -\frac{x^2}{2} + O(x^4).

Passo 4

Substituindo as expansões no quociente, obtemos
\frac{(e^x-1)^2}{\cos x -1} = \frac{x^2 + x^3 + O(x^4)}{-\tfrac{x^2}{2} + O(x^4)} = -2\,\frac{1 + x + O(x^2)}{1 + O(x^2)}.
À medida que x\to0, isso tende a -2.

Resposta

-2

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