Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x}-e^{-x}}{\operatorname{sen}(2 x)}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{\sin(2x)}.
Como ao substituir x=0 tanto o numerador quanto o denominador dão zero, temos uma forma indeterminada 0/0. Vamos usar a regra de l’Hôpital para resolver.

Passo 2

Verificamos a indeterminação:
- Numerador em x=0: e^0 - e^0 = 1 - 1 = 0.
- Denominador em x=0: \sin(0) = 0.

Passo 3

Aplicando a regra de l’Hôpital, derivamos numerador e denominador separadamente:
\frac{d}{dx}\bigl(e^x - e^{-x}\bigr) = e^x + e^{-x},
\frac{d}{dx}\bigl(\sin(2x)\bigr) = 2\cos(2x).

Passo 4

O limite fica
\lim_{x\to 0} \frac{e^x + e^{-x}}{2\cos(2x)}.
Agora basta substituir x=0:
\frac{e^0 + e^0}{2\cos(0)} = \frac{1 + 1}{2\cdot1} = 1.

Resposta

1

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