Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty} x^{2} \ln \left(1+x^{-2}\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty} x^{2}\,\ln\bigl(1+x^{-2}\bigr).
Este é um limite do tipo “ \infty\cdot0”. Vamos usar o desenvolvimento em série (equivalente de Taylor) de \ln(1+u) para u\to0.

Passo 2

Lembramos que, quando u\to0, vale o equivalente
\ln(1+u)=u+o(u).
Aqui o(u) significa uma quantidade que, dividida por u, tende a zero.

Passo 3

Tomamos u=x^{-2}. Quando x\to+\infty, temos u\to0, então
\ln\bigl(1+x^{-2}\bigr) = x^{-2} + o\bigl(x^{-2}\bigr).

Passo 4

Multiplicando por x^{2},
x^{2}\,\ln\bigl(1+x^{-2}\bigr) = x^{2}\Bigl(x^{-2} + o(x^{-2})\Bigr) = 1 + x^{2}\,o(x^{-2}) = 1 + o(1).
Como o(1)\to0 quando x\to+\infty, o limite é 1.

Resposta

1

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