Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow \frac{3}{2}}\lfloor x\rfloor

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x \rightarrow \frac{3}{2}} \lfloor x \rfloor.
Informações relevantes dadas (implicitamente):
  • \frac{3}{2}=1{,}5.
  • \lfloor x\rfloor é a função piso (ou “parte inteira por baixo”), definida como o maior inteiro menor ou igual a x.

Passo 2

Vamos lembrar como a função piso se comporta em intervalos: para todo inteiro n,
\lfloor x\rfloor = n \quad\text{para todo } x \in [n,n+1).
Isto significa que em qualquer intervalo aberto contido em [n,n+1) a função é constante igual a n.

Passo 3

Observe que \tfrac{3}{2}=1{,}5 pertence ao intervalo [1,2). Pelo item anterior, para todo x em [1,2) vale
\lfloor x\rfloor = 1.
Portanto, qualquer x suficientemente próximo de \tfrac{3}{2} (por exemplo, todo x com |x-\tfrac{3}{2}|<\tfrac{1}{2}) satisfaz x\in(1,2) e assim \lfloor x\rfloor=1.

Passo 4

Logo os limites laterais são iguais:
\lim_{x\to \frac{3}{2}^-}\lfloor x\rfloor = 1 \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to \frac{3}{2}^+}\lfloor x\rfloor = 1.
Como as duas limites laterais coincidem, o limite total existe e é igual a 1.

Resposta

1

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