(2,0 pontos) Considere a função
. Calcule
e
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede para calcular os valores das derivadas de ordem 2 e 3 no ponto
, ou seja:
Informações relevantes fornecidas:
- Cada termo da função é
, , (que é ) e a constante . - Precisamos derivar termo a termo e avaliar em
.
Passo 2
Relembrando regras básicas de derivação (explicação didática, passo a passo):
- Linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, para funções
e ,
- Derivada de constante: se
é constante então
- Regra do poder (power rule): para qualquer número real
,
Isso vale também para
negativo, por exemplo
e
.
Exemplo rápido para fixar: se
então
. Se
então
.
Passo 3
Calcular a primeira derivada
aplicando termo a termo e as regras acima.
Termos da função e suas derivadas:
- Para
: usando a regra do poder, . - Para
: . - Para
: . - Para
: é constante, então a derivada é .
Somando:
Passo 4
Calcular a segunda derivada
derivando
termo a termo.
Derivadas dos termos de
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Portanto
Passo 5
Calcular a terceira derivada
derivando
termo a termo.
Derivadas dos termos de
:
- Para
: . - Para
: . - Para
: .
Logo
Passo 6
Avaliar
e
em
.
Para
:
Para
: