(2,0 pontos) Considere a função f(x)=x^{-3}+x^{2}+\frac{1}{x}+2^{2025}. Calcule f^{\prime \prime}(1) e f^{\prime \prime \prime}(1).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=x^{-3}+x^{2}+\frac{1}{x}+2^{2025}
e pede para calcular os valores das derivadas de ordem 2 e 3 no ponto x=1, ou seja:
f^{\prime\prime}(1)\quad\text{e}\quad f^{\prime\prime\prime}(1).
Informações relevantes fornecidas:
  • Cada termo da função é x^{-3}, x^{2}, \dfrac{1}{x} (que é x^{-1}) e a constante 2^{2025}.
  • Precisamos derivar termo a termo e avaliar em x=1.

Passo 2

Relembrando regras básicas de derivação (explicação didática, passo a passo):
  • Linearidade: a derivada da soma é a soma das derivadas. Ou seja, para funções g e h,
\frac{d}{dx}\big(g(x)+h(x)\big)=g'(x)+h'(x).
  • Derivada de constante: se C é constante então
\frac{d}{dx}C=0.
  • Regra do poder (power rule): para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}x^{n}=n\,x^{n-1}.
Isso vale também para n negativo, por exemplo \frac{d}{dx}x^{-3}=-3x^{-4} e \frac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}.
Exemplo rápido para fixar: se h(x)=x^{4} então h'(x)=4x^{3}. Se k(x)=x^{-2} então k'(x)=-2x^{-3}.

Passo 3

Calcular a primeira derivada f'(x) aplicando termo a termo e as regras acima.
Termos da função e suas derivadas:
  • Para x^{-3}: usando a regra do poder, \dfrac{d}{dx}x^{-3}=-3x^{-4}.
  • Para x^{2}: \dfrac{d}{dx}x^{2}=2x.
  • Para \dfrac{1}{x}=x^{-1}: \dfrac{d}{dx}x^{-1}=-1\cdot x^{-2}=-x^{-2}.
  • Para 2^{2025}: é constante, então a derivada é 0.
Somando:
f'(x)=-3x^{-4}+2x-x^{-2}.

Passo 4

Calcular a segunda derivada f^{\prime\prime}(x) derivando f'(x) termo a termo.
Derivadas dos termos de f'(x):
  • Para -3x^{-4}: \dfrac{d}{dx}(-3x^{-4})=-3\cdot(-4)x^{-5}=12x^{-5}.
  • Para 2x: \dfrac{d}{dx}(2x)=2.
  • Para -x^{-2}: \dfrac{d}{dx}(-x^{-2})=-1\cdot(-2)x^{-3}=2x^{-3}.
Portanto
f^{\prime\prime}(x)=12x^{-5}+2+2x^{-3}.

Passo 5

Calcular a terceira derivada f^{\prime\prime\prime}(x) derivando f^{\prime\prime}(x) termo a termo.
Derivadas dos termos de f^{\prime\prime}(x):
  • Para 12x^{-5}: \dfrac{d}{dx}(12x^{-5})=12\cdot(-5)x^{-6}=-60x^{-6}.
  • Para 2: \dfrac{d}{dx}2=0.
  • Para 2x^{-3}: \dfrac{d}{dx}(2x^{-3})=2\cdot(-3)x^{-4}=-6x^{-4}.
Logo
f^{\prime\prime\prime}(x)=-60x^{-6}-6x^{-4}.

Passo 6

Avaliar f^{\prime\prime}(x) e f^{\prime\prime\prime}(x) em x=1.
Para f^{\prime\prime}(1):
f^{\prime\prime}(1)=12\cdot 1^{-5}+2+2\cdot 1^{-3}=12+2+2=16.
Para f^{\prime\prime\prime}(1):
f^{\prime\prime\prime}(1)=-60\cdot 1^{-6}-6\cdot 1^{-4}=-60-6=-66.

Resposta

f^{\prime\prime}(1)=16
f^{\prime\prime\prime}(1)=-66

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