Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{2}-1}{2 x^{2}-x-1}\

Passo 1

O enunciado pede o cálculo de \lim_{x\to1}\frac{x^2-1}{2x^2-x-1}. O conteúdo aqui é limite de função racional que apresenta indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}. Para resolver, vamos usar fatoração de polinômios e simplificação de fator comum.

Passo 2

Verificamos que ao substituir x=1 no numerador e no denominador temos indeterminação. Então, fatoramos o numerador:
x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1).

Passo 3

Fatoramos o denominador:
2x^2 - x - 1 = (x - 1)(2x + 1).

Passo 4

Para x \neq 1, podemos simplificar o fator comum (x-1), obtendo a expressão equivalente
\frac{x+1}{2x+1}.

Passo 5

Como já não há mais indeterminação, calculamos o limite substituindo x=1:
\lim_{x\to1}\frac{x+1}{2x+1}=\frac{1+1}{2\cdot1+1}=\frac{2}{3}.

Resposta

\frac{2}{3}

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