Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
Informações dadas: a expressão é
e a aproximação é quando
tende a
. Observação: a expressão
não está definida em
porque o denominador fica
, mas o limite pode ainda existir; isto é algo importante a notar.
Passo 2
Entendendo o que é limite (explicação didática e informal). O limite
significa que, ao escolhermos valores de
cada vez mais próximos de
(mas diferentes de
), os valores de
ficam cada vez mais próximos de
. Formalmente, para todo
existe
tal que, se
, então
. Aqui só preciso que você fique com a ideia: o valor de
exatamente em
não importa para o limite — o que importa é o comportamento perto de
.
Passo 3
Simplificação algébrica da expressão para
. Para qualquer
diferente de
vale
já que
quando
. Ou seja, em qualquer vizinhança de
removendo o próprio ponto
(vizinhaça pontuada), a função tem valor constante igual a
.
Passo 4
Argumento do limite usando a propriedade de função constante (didática com epsilon-delta simples). Se uma função vale sempre uma constante
para
próximos de
(mas
), então
. No nosso caso, para todo
com
temos
, portanto
que é menor que qualquer
. Assim, satisfaz-se a definição de limite com
.
Passo 5
Conclusão concreta e exemplo para fixar: como a expressão simplifica para a constante
em toda vizinhança pontuada de
, o limite quando
é
. Exemplo parecido para treinar:
porque para
simplifica para
.