Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{2 x}{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0} \frac{2x}{x}.
Informações dadas: a expressão é \frac{2x}{x} e a aproximação é quando x tende a 0. Observação: a expressão \frac{2x}{x} não está definida em x=0 porque o denominador fica 0, mas o limite pode ainda existir; isto é algo importante a notar.

Passo 2

Entendendo o que é limite (explicação didática e informal). O limite \lim_{x\to a} f(x)=L significa que, ao escolhermos valores de x cada vez mais próximos de a (mas diferentes de a), os valores de f(x) ficam cada vez mais próximos de L. Formalmente, para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|x-a|<\delta, então |f(x)-L|<\varepsilon. Aqui só preciso que você fique com a ideia: o valor de f exatamente em a não importa para o limite — o que importa é o comportamento perto de a.

Passo 3

Simplificação algébrica da expressão para x\neq 0. Para qualquer x diferente de 0 vale
\frac{2x}{x}=2\cdot\frac{x}{x}=2\cdot 1=2,
já que \frac{x}{x}=1 quando x\neq 0. Ou seja, em qualquer vizinhança de 0 removendo o próprio ponto 0 (vizinhaça pontuada), a função tem valor constante igual a 2.

Passo 4

Argumento do limite usando a propriedade de função constante (didática com epsilon-delta simples). Se uma função vale sempre uma constante k para x próximos de a (mas x\neq a), então \lim_{x\to a} f(x)=k. No nosso caso, para todo x com 0<|x-0|<\delta temos f(x)=2, portanto |f(x)-2|=0 que é menor que qualquer \varepsilon>0. Assim, satisfaz-se a definição de limite com L=2.

Passo 5

Conclusão concreta e exemplo para fixar: como a expressão simplifica para a constante 2 em toda vizinhança pontuada de 0, o limite quando x\to 0 é 2. Exemplo parecido para treinar: \lim_{x\to 0}\frac{x^2}{x}=\lim_{x\to 0}x=0 porque para x\neq 0 simplifica para x.

Resposta

\,2

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