Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas:
- A expressão é a potência de uma fração cujo numerador e denominador são funções lineares em
. - A variável
tende para .
O que se quer: calcular o valor numérico desse limite quando
cresce sem limite.
Passo 2
Observação sobre a forma indeterminada e escolha do método.
Quando
a fração
tende a
(porque os termos dominantes no numerador e denominador são ambos
). Assim a expressão tem a forma do tipo
, que é uma indeterminação clássica. Para esse tipo de limite é conveniente usar o logaritmo natural para passar a potência para multiplicação: se
e
, então, quando o limite de
existir e for finito, vale
Isso funciona porque a função exponencial é contínua. Vou aplicar exatamente isso ao nosso caso.
Passo 3
Defino o limite procurado como
Tomando logaritmo natural (assumindo que o limite existe),
Agora vou simplificar a expressão dentro do logaritmo para poder calcular esse limite.
Passo 4
Reescrevo a fração de forma conveniente:
Outra forma útil é
Portanto
Passo 5
Faço a mudança de variável
. Quando
também
, e
. Assim
Separo em duas parcelas:
Avalio os limites das duas parcelas:
- Para a primeira parcela uso a identidade padrão
Substituindo
(que tende a
quando
), obtemos
Ou, equivalentemente,
.
- Para a segunda parcela temos
quando , logo
Somando os dois resultados,
Passo 6
Como
, aplico a exponencial para recuperar
: