Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(\frac{3 x+2}{3 x-1}\right)^{x}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{3x+2}{3x-1}\right)^{x}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • À medida que x\to+\infty a razão \dfrac{3x+2}{3x-1} tende a 1 (porque termos de maior ordem no numerador e denominador são iguais).
  • O expoente x tende para +\infty.
  • Portanto a expressão tem a forma indeterminada 1^{\infty}.

Passo 2

Estratégia geral (passo técnico que será usado adiante): transformar a potência em produto com o logaritmo natural para facilitar o cálculo do limite. Se denotarmos por L o limite pedido e se o limite de \ln da expressão existir e for finito, então
L=\exp\!\Big(\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(\frac{3x+2}{3x-1}\right)\Big).
Isso vale porque a função exponencial é contínua e \exp(\ln y)=y para y>0.

Passo 3

Reescrevendo a base de forma conveniente:
\frac{3x+2}{3x-1}=\frac{3x-1+3}{3x-1}=1+\frac{3}{3x-1}.
Assim o logaritmo que aparece é
\ln\!\left(\frac{3x+2}{3x-1}\right)=\ln\!\left(1+\frac{3}{3x-1}\right).

Passo 4

Defina t=\dfrac{3}{3x-1}. Note que quando x\to+\infty temos t\to0^+. A expressão para o logaritmo multiplicada por x fica
x\ln\!\left(1+\frac{3}{3x-1}\right)=x\ln(1+t).
Escreve-se como produto útil:
x\ln(1+t)=(x t)\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}.

Passo 5

Calcular os dois fatores no produto quando x\to+\infty (equivalente a t\to0):
  1. Primeiro fator:
x t = x\cdot\frac{3}{3x-1}=\frac{3x}{3x-1}=\frac{3x-1+1}{3x-1}=1+\frac{1}{3x-1}\xrightarrow[x\to+\infty]{}1.
  1. Segundo fator: usar o limite conhecido
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Justificação rápida: aplica-se a Regra de L’Hôpital a \dfrac{\ln(1+t)}{t} (ambos numerador e denominador tendem a 0); derivadas dão \dfrac{1/(1+t)}{1}, que em t=0 vale 1. Portanto o quociente tende a 1.
Multiplicando os limites dos fatores:
\lim_{x\to+\infty} x\ln\!\left(1+\frac{3}{3x-1}\right)=1\cdot 1 = 1.

Passo 6

Concluímos que o limite do logaritmo da expressão é 1, então pelo passo 2
\lim_{x\to+\infty}\left(\frac{3x+2}{3x-1}\right)^{x}=\exp(1)=e.

Resposta

e

Exercícios relacionados