À medida que x\to+\infty a razão \dfrac{3x+2}{3x-1} tende a 1 (porque termos de maior ordem no numerador e denominador são iguais).
O expoente x tende para +\infty.
Portanto a expressão tem a forma indeterminada 1^{\infty}.
Passo 2
Estratégia geral (passo técnico que será usado adiante): transformar a potência em produto com o logaritmo natural para facilitar o cálculo do limite. Se denotarmos por L o limite pedido e se o limite de \ln da expressão existir e for finito, então
Defina t=\dfrac{3}{3x-1}. Note que quando x\to+\infty temos t\to0^+. A expressão para o logaritmo multiplicada por x fica
x\ln\!\left(1+\frac{3}{3x-1}\right)=x\ln(1+t).
Escreve-se como produto útil:
x\ln(1+t)=(x t)\cdot\frac{\ln(1+t)}{t}.
Passo 5
Calcular os dois fatores no produto quando x\to+\infty (equivalente a t\to0):
Primeiro fator:
x t = x\cdot\frac{3}{3x-1}=\frac{3x}{3x-1}=\frac{3x-1+1}{3x-1}=1+\frac{1}{3x-1}\xrightarrow[x\to+\infty]{}1.
Segundo fator: usar o limite conhecido
\lim_{t\to0}\frac{\ln(1+t)}{t}=1.
Justificação rápida: aplica-se a Regra de L’Hôpital a \dfrac{\ln(1+t)}{t} (ambos numerador e denominador tendem a 0); derivadas dão \dfrac{1/(1+t)}{1}, que em t=0 vale 1. Portanto o quociente tende a 1.