Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^{2}}-1}{\cos ^{2}(x)-1}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to0}\frac{e^{x^{2}}-1}{\cos^{2}(x)-1}.
Percebemos que, ao trocar x por 0, tanto o numerador quanto o denominador valem zero, ou seja, temos uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar identidades trigonométricas e limites fundamentais.

Passo 2

Usamos a identidade
\cos^{2}(x)-1 = -\bigl(1-\cos^{2}(x)\bigr) = -\sin^{2}(x).
Assim o limite vira
\lim_{x\to0}\frac{e^{x^{2}}-1}{\cos^{2}(x)-1} = -\lim_{x\to0}\frac{e^{x^{2}}-1}{\sin^{2}(x)}.

Passo 3

Reescrevemos o quociente em dois fatores que conhecemos:
\frac{e^{x^{2}}-1}{\sin^{2}(x)} = \frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}\;\cdot\;\frac{x^{2}}{\sin^{2}(x)}.

Passo 4

Aplicamos os limites conhecidos:
  1. \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{e^{u}-1}{u}=1, então com u=x^{2} obtemos
    \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}=1.
  2. \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}{x}=1, logo
    \displaystyle\lim_{x\to0}\frac{x^{2}}{\sin^{2}(x)}=\bigl(\lim_{x\to0}\tfrac{x}{\sin x}\bigr)^{2}=1.

Passo 5

Combinando os resultados:
-\lim_{x\to0}\frac{e^{x^{2}}-1}{\sin^{2}(x)} = -\bigl(1\bigr)\cdot\bigl(1\bigr) = -1.

Resposta

-1

Exercícios relacionados