Questão 1: Determine o limite
\lim _{t \rightarrow 0} r(t)
em que
r(t)=\left(e^{-3 t}, \frac{t^{2}}{\sin ^{2} t}, \cos (2 t)\right)

Passo 1

O enunciado pede o limite da função vetorial
r(t)=\bigl(e^{-3t},\,\frac{t^{2}}{\sin^{2}t},\,\cos(2t)\bigr)
quando t\to0. Para funções vetoriais, podemos calcular o limite componente a componente, usando noções de limite de função real e propriedades de funções contínuas.

Passo 2

Calcular a primeira componente
\lim_{t\to0}e^{-3t}.
Como a função f(t)=e^{-3t} é contínua, basta substituir t=0:
\lim_{t\to0}e^{-3t}=e^{0}=1.

Passo 3

Calcular a segunda componente
\lim_{t\to0}\frac{t^{2}}{\sin^{2}t}.
Reescrevendo como
\left(\frac{t}{\sin t}\right)^{2}
e sabendo que \lim_{t\to0}\frac{\sin t}{t}=1, temos
\lim_{t\to0}\left(\frac{t}{\sin t}\right)^{2}=1^{2}=1.

Passo 4

Calcular a terceira componente
\lim_{t\to0}\cos(2t).
A função g(t)=\cos(2t) é contínua, logo
\lim_{t\to0}\cos(2t)=\cos(0)=1.

Passo 5

Juntando os resultados componente a componente, obtemos
\lim_{t\to0}r(t)=\bigl(1,\,1,\,1\bigr).

Resposta

(1,1,1)

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