Equação de difusão/equação de condução do calor com condições iniciais e de contorno: método de separação de variáveis
Utilizando o método de separação de variáveis, obtenha a expressão da solução
, para a equação de difusão/equação de condução do calor
no intervalo
, em que
, sob a condição inicial
em que
é uma função conhecida, e sob as condições de contorno a seguir.
em que
são constantes dadas.
Passo 1
O enunciado pede a solução de
com condições de contorno não homogêneas
e condição inicial
O método de separação de variáveis exige primeiro homogeneizar as condições de contorno, escrevendo
, onde
é o estado estacionário.
Passo 2
O estado estacionário
satisfaz
com
Integrando duas vezes obtemos
Impondo as condições de contorno resulta
Logo
Passo 3
Definimos
Então
e a PDE vira
com condições de contorno homogêneas
e condição inicial
Passo 4
Procuramos solução separada
. Substituindo em
e dividindo por
dá
Obtemos dois ODEs
As condições
levam aos autovalores
e autofunções
A equação para
dá
Portanto
Passo 5
Os coeficientes
vêm da condição inicial de
:
Pela ortogonalidade de
em
,
Passo 6
Voltando a
, a solução completa é