Equação de difusão/equação de condução do calor com condições iniciais e de contorno: método de separação de variáveis
Utilizando o método de separação de variáveis, obtenha a expressão da solução u(x, t), t>0, para a equação de difusão/equação de condução do calor
k \frac{\partial^{2} u(x, t)}{\partial x^{2}}-\frac{\partial u(x, t)}{\partial t}=0 ; \quad k>0
no intervalo x \in[0, L], em que L>0, sob a condição inicial
u(x, 0)=P(x)
em que P(x) é uma função conhecida, e sob as condições de contorno a seguir.
\begin{aligned} & u(0, t)=U_{1} \\\ & u(L, t)=U_{2} \end{aligned}
em que U_{1}, U_{2} são constantes dadas.

Passo 1

O enunciado pede a solução de
k\,\frac{\partial^{2}u(x,t)}{\partial x^{2}} \;-\;\frac{\partial u(x,t)}{\partial t}=0,\quad x\in[0,L],\;t>0,
com condições de contorno não homogêneas
u(0,t)=U_{1},\quad u(L,t)=U_{2},
e condição inicial
u(x,0)=P(x).
O método de separação de variáveis exige primeiro homogeneizar as condições de contorno, escrevendo u(x,t)=v(x,t)+w(x), onde w é o estado estacionário.

Passo 2

O estado estacionário w(x) satisfaz
k\,w''(x)=0,
com
w(0)=U_{1},\quad w(L)=U_{2}.
Integrando duas vezes obtemos
w(x)=A\,x+B.
Impondo as condições de contorno resulta
w(0)=B=U_{1},\quad w(L)=A\,L+U_{1}=U_{2}\;\Rightarrow\;A=\frac{U_{2}-U_{1}}{L}.
Logo
w(x)=U_{1}+\frac{U_{2}-U_{1}}{L}\,x.

Passo 3

Definimos
v(x,t)=u(x,t)-w(x).
Então
v_{t}=u_{t},\quad v_{xx}=u_{xx}-w''=u_{xx},
e a PDE vira
k\,v_{xx}-v_{t}=0
com condições de contorno homogêneas
v(0,t)=0,\quad v(L,t)=0
e condição inicial
v(x,0)=P(x)-w(x).

Passo 4

Procuramos solução separada v(x,t)=X(x)\,T(t). Substituindo em k\,X''T - X\,T'=0 e dividindo por kXT
\frac{X''}{X}=\frac{1}{k}\,\frac{T'}{T}=-\lambda.
Obtemos dois ODEs
X''+\lambda\,X=0,\quad T'+k\lambda\,T=0.
As condições X(0)=X(L)=0 levam aos autovalores
\lambda_{n}=\Bigl(\frac{n\pi}{L}\Bigr)^{2},\quad n=1,2,\dots
e autofunções
X_{n}(x)=\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}x\Bigr).
A equação para T
T_{n}(t)=\exp\!\Bigl[-k\bigl(\tfrac{n\pi}{L}\bigr)^{2}t\Bigr].
Portanto
v(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}x\Bigr)\, \exp\!\Bigl[-k\bigl(\tfrac{n\pi}{L}\bigr)^{2}t\Bigr].

Passo 5

Os coeficientes B_{n} vêm da condição inicial de v:
v(x,0)=P(x)-w(x) =\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}x\Bigr).
Pela ortogonalidade de \sin(n\pi x/L) em [0,L],
B_{n}=\frac{2}{L} \int_{0}^{L}\bigl[P(\xi)-w(\xi)\bigr] \sin\!\Bigl(\frac{n\pi}{L}\xi\Bigr)\,d\xi.

Passo 6

Voltando a u(x,t)=v(x,t)+w(x), a solução completa é
u(x,t) =U_{1}+\frac{U_{2}-U_{1}}{L}\,x +\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\bigl(P(\xi)-w(\xi)\bigr) \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}\xi\Bigr)\,d\xi\Biggr] \sin\!\Bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\Bigr)\, e^{-k(n\pi/L)^{2}t}.

Resposta

\boxed{ u(x,t) =U_{1}+\frac{U_{2}-U_{1}}{L}\,x +\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[\frac{2}{L}\int_{0}^{L}\bigl(P(\xi)-U_{1}-\tfrac{U_{2}-U_{1}}{L}\,\xi\bigr) \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}\xi\bigr)\,d\xi\Biggr] \sin\!\bigl(\tfrac{n\pi}{L}x\bigr) e^{-k(n\pi/L)^{2}t} }.

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