Derive a função
f(x)=2 x \cos (x) \operatorname{tg}(x)

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x) = 2\,x\cos(x)\tan(x).
O conteúdo que vamos usar envolve a regra do produto e as derivadas das funções trigonométricas \cos(x) e \tan(x).

Passo 2

Separemos o fator constante e definamos
g(x) = x\cos(x)\tan(x),
de modo que
f(x) = 2\,g(x) \quad\Longrightarrow\quad f'(x) = 2\,g'(x).

Passo 3

Para derivar g(x)=x\,h(x) com h(x)=\cos(x)\tan(x), aplicamos a regra do produto:
g'(x) = x\cdot h'(x) + 1\cdot h(x) = x\,h'(x) + h(x).

Passo 4

Agora derivamos
h(x) = \cos(x)\,\tan(x).
Aplicando regra do produto:
h'(x) = (\cos(x))'\,\tan(x) + \cos(x)\,(\tan(x))' = -\sin(x)\,\tan(x) + \cos(x)\,\operatorname{sec}^2(x).
Cada termo fica
-\sin(x)\,\tan(x) = -\frac{\sin^2(x)}{\cos(x)}, \qquad \cos(x)\,\operatorname{sec}^2(x) = \frac{\cos(x)}{\cos^2(x)} = \frac1{\cos(x)}.
Logo,
h'(x) = \frac1{\cos(x)} - \frac{\sin^2(x)}{\cos(x)} = \frac{1-\sin^2(x)}{\cos(x)} = \frac{\cos^2(x)}{\cos(x)} = \cos(x).

Passo 5

Substituindo em g'(x)=x\,h'(x)+h(x):
g'(x) = x\cos(x) + \cos(x)\tan(x).

Passo 6

Voltando a f'(x)=2\,g'(x):
f'(x) = 2\bigl(x\cos(x) + \cos(x)\tan(x)\bigr) = 2x\cos(x) + 2\cos(x)\tan(x).
Como \cos(x)\tan(x)=\sin(x), obtemos
f'(x) = 2x\cos(x) + 2\sin(x).

Resposta

f'(x) = 2x\cos(x) + 2\sin(x).

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