Dado o ponto \mathrm{A}(2,3,-4) e o vetor \vec{v}=(1,-2,3), determine: Pontuação: \mathbf{0 , 5} ponto a) as equações paramétricas da reta r que passa por A e tem direção \vec{v};
b) o ponto de r cuja abscissa é 4 .

Passo 1

O enunciado dá o ponto A(2,3,-4) e o vetor direção \vec v=(1,-2,3). O conteúdo aqui é geometria analítica em \mathbb R^3, mais precisamente equações paramétricas de reta e localização de ponto com abscissa dada.

Passo 2

Em \mathbb R^3, a equação paramétrica de uma reta que passa por A(x_0,y_0,z_0) com vetor direção \vec v=(a,b,c) é
x = x_0 + a\,t,\quad y = y_0 + b\,t,\quad z = z_0 + c\,t.
Substituindo A(2,3,-4) e \vec v=(1,-2,3), obtemos
x = 2 + t,\quad y = 3 - 2t,\quad z = -4 + 3t.

Passo 3

Para encontrar o ponto de reta com abscissa x=4, impomos
2 + t = 4 \implies t = 2.
Substituindo t=2 em y e z:
y = 3 - 2\cdot2 = -1,\quad z = -4 + 3\cdot2 = 2.
Logo o ponto procurado é (4,-1,2).

Resposta

a)
x = 2 + t,\quad y = 3 - 2t,\quad z = -4 + 3t.
b) (4,-1,2)

Exercícios relacionados