Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2 x}-e^{3 x}}{\operatorname{sen}(2 x)-\operatorname{sen}(3 x)}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-e^{3x}}{\operatorname{sen}(2x)-\operatorname{sen}(3x)}.
O conteúdo envolvido é limite de função dando forma indeterminada \tfrac{0}{0} e vamos usar a regra de L’Hôpital (ou séries de Taylor de ordem 1).

Passo 2

Verificamos a indeterminação substituindo x=0:
e^{2\cdot0}-e^{3\cdot0}=1-1=0, \quad \operatorname{sen}(2\cdot0)-\operatorname{sen}(3\cdot0)=0-0=0,
logo temos a forma \tfrac{0}{0}, o que autoriza aplicar L’Hôpital.

Passo 3

Aplicando a regra de L’Hôpital, derivamos numerador e denominador em relação a x:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}-e^{3x}\bigr)=2e^{2x}-3e^{3x},
\frac{d}{dx}\bigl(\operatorname{sen}(2x)-\operatorname{sen}(3x)\bigr)=2\cos(2x)-3\cos(3x).
Assim
\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-e^{3x}}{\operatorname{sen}(2x)-\operatorname{sen}(3x)} =\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}-3e^{3x}}{2\cos(2x)-3\cos(3x)}.

Passo 4

Agora basta avaliar em x=0:
2e^{0}-3e^{0}=2-3=-1, \quad 2\cos(0)-3\cos(0)=2-3=-1,
então
\lim_{x\to0}\frac{2e^{2x}-3e^{3x}}{2\cos(2x)-3\cos(3x)} =\frac{-1}{-1}=1.

Resposta

O valor do limite é 1.

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