Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow-\infty}\left(1-\frac{1}{x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to -\infty}\Bigl(1 - \frac{1}{x}\Bigr)^{x}.
O conteúdo aqui é o limite de uma expressão na forma exponencial que remete à função e^x. Vamos usar logaritmos e expansão de séries para avaliá-lo.

Passo 2

Defina
L = \lim_{x\to -\infty}\Bigl(1 - \frac{1}{x}\Bigr)^{x}.
Para simplificar, tomamos o logaritmo natural e obtemos
\ln L = \lim_{x\to -\infty} x \,\ln\!\Bigl(1 - \frac{1}{x}\Bigr).

Passo 3

Usamos a expansão em série para \ln(1+u) quando u\to 0:
\ln(1+u) = u - \tfrac{u^{2}}{2} + o(u^{2}).
Aqui u = -\tfrac{1}{x}\to 0, logo
x\,\ln\!\Bigl(1 - \tfrac{1}{x}\Bigr) = x\Bigl(-\tfrac{1}{x} - \tfrac{1}{2x^{2}} + o(\tfrac{1}{x^{2}})\Bigr) = -1 - \tfrac{1}{2x} + o(\tfrac{1}{x}) \;\xrightarrow[x\to -\infty]{}\; -1.
Portanto
\ln L = -1.

Passo 4

Exponenciando, vem
L = e^{-1} = \frac{1}{e}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{e}

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