Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede
que é a razão de duas funções que tendem a zero quando
. Isso configura uma indeterminação do tipo
, e por isso vamos usar a regra de l’Hôpital, que diz que se
e
e as derivadas existem, então
Passo 2
Primeiro, confirmamos a indeterminação. Ao aproximar
de zero,
,
e
,
. Logo
ou seja, temos realmente
.
Passo 3
Aplicamos a regra de l’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a
.
Passo 4
A derivada do numerador é
e a derivada do denominador é
Passo 5
Agora avaliamos essas derivadas em
:
Portanto, pelo l’Hôpital,
Resposta
O valor do limite é
.