Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 0} \frac{e^{2 x}-e^{3 x}}{\operatorname{sen}(2 x)-\operatorname{sen}(3 x)}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-e^{3x}}{\sin(2x)-\sin(3x)},
que é a razão de duas funções que tendem a zero quando x\to0. Isso configura uma indeterminação do tipo 0/0, e por isso vamos usar a regra de l’Hôpital, que diz que se \lim_{x\to a}f(x)=0 e \lim_{x\to a}g(x)=0 e as derivadas existem, então
\lim_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)} =\lim_{x\to a}\frac{f'(x)}{g'(x)}.

Passo 2

Primeiro, confirmamos a indeterminação. Ao aproximar x de zero, \mathrm{e}^{2x}\to1, \mathrm{e}^{3x}\to1 e \sin(2x)\to0, \sin(3x)\to0. Logo
e^{2x}-e^{3x}\to 1-1=0, \quad \sin(2x)-\sin(3x)\to0-0=0,
ou seja, temos realmente 0/0.

Passo 3

Aplicamos a regra de l’Hôpital, derivando numerador e denominador em relação a x.

Passo 4

A derivada do numerador é
\frac{d}{dx}\bigl(e^{2x}-e^{3x}\bigr) =2e^{2x}-3e^{3x},
e a derivada do denominador é
\frac{d}{dx}\bigl(\sin(2x)-\sin(3x)\bigr) =2\cos(2x)-3\cos(3x).

Passo 5

Agora avaliamos essas derivadas em x=0:
2e^{2\cdot0}-3e^{3\cdot0}=2\cdot1-3\cdot1=-1, \quad 2\cos(2\cdot0)-3\cos(3\cdot0)=2\cdot1-3\cdot1=-1.
Portanto, pelo l’Hôpital,
\lim_{x\to0}\frac{e^{2x}-e^{3x}}{\sin(2x)-\sin(3x)} =\frac{-1}{-1}=1.

Resposta

O valor do limite é 1.

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