Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)^{x+1}

Passo 1

O enunciado pede calcular
\lim_{x\to+\infty}\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)^{x+1}.
O conteúdo aqui é o limite exponencial, usando a propriedade
\lim_{u\to\infty}\Bigl(1+\frac{a}{u}\Bigr)^{u}=e^{a}.
Vamos aplicar essa ideia somada a regras de limites.

Passo 2

Reescrevendo o expoente, temos
\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)^{x+1} =\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)^{x}\,\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr).
Como o limite de um produto é o produto dos limites (quando existirem),
\lim_{x\to\infty}\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)^{x+1} =\Bigl(\lim_{x\to\infty}\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)^{x}\Bigr) \;\times\;\Bigl(\lim_{x\to\infty}\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)\Bigr).

Passo 3

Pela propriedade básica do limite exponencial,
\lim_{x\to\infty}\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)^{x}=e^{2},
e claramente
\lim_{x\to\infty}\bigl(1+\tfrac{2}{x}\bigr)=1.
Portanto o produto vale e^{2}.

Resposta

\,e^{2}

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