Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow+\infty}\left(1+\frac{1}{2 x}\right)^{x}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{2x}\Bigr)^{x}.
O conteúdo aqui é limites notáveis envolvendo a constante e, em especial
\lim_{n\to\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{n}=e.

Passo 2

Reescrevemos a potência de forma a usar o limite notável. Note que
\Bigl(1+\frac{1}{2x}\Bigr)^{x} =\Bigl[\Bigl(1+\frac{1}{2x}\Bigr)^{2x}\Bigr]^{\frac12}.

Passo 3

Aplicamos o limite notável ao termo interno. Como 2x\to+\infty quando x\to+\infty, temos
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{2x}\Bigr)^{2x}=e.

Passo 4

Portanto,
\lim_{x\to+\infty}\Bigl(1+\frac{1}{2x}\Bigr)^{x} =\lim_{x\to+\infty}\Bigl[\Bigl(1+\frac{1}{2x}\Bigr)^{2x}\Bigr]^{\frac12} =e^{\frac12}.

Resposta

\sqrt{e}

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