Calcule os seguintes limites
\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{3}-3 x+2}{x^{4}-4 x+3}\

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to1}\frac{x^{3}-3x+2}{x^{4}-4x+3}.
O conteúdo envolvido é cálculo de limites do tipo 0/0, que podemos resolver por fatoração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, fazemos a substituição direta em x=1 para ver o tipo de indeterminação:
\text{num} = 1^{3}-3\cdot1+2 = 0, \quad \text{den} = 1^{4}-4\cdot1+3 = 0.
Isso confirma a forma indeterminada 0/0, então vamos fatorar numerador e denominador.

Passo 3

Para o numerador x^{3}-3x+2, fazemos divisão sintética por x-1:
coeficientes: 1,0,-3,2.
Aplicando a raiz 1 duas vezes, obtemos
x^{3}-3x+2 = (x-1)^{2}(x+2).

Passo 4

Para o denominador x^{4}-4x+3, dividimos também por x-1 duas vezes:
coeficientes: 1,0,0,-4,3.
O quociente final é x^{2}+2x+3, logo
x^{4}-4x+3 = (x-1)^{2}\,(x^{2}+2x+3).

Passo 5

Substituindo as fatorações no quociente, para x\neq1 temos
\frac{x^{3}-3x+2}{x^{4}-4x+3} = \frac{(x-1)^{2}(x+2)}{(x-1)^{2}(x^{2}+2x+3)} = \frac{x+2}{x^{2}+2x+3}.
Agora o limite é contínuo em x=1, então
\lim_{x\to1}\frac{x+2}{x^{2}+2x+3} = \frac{1+2}{1+2+3} = \frac{3}{6} = \tfrac12.

Resposta

\tfrac12

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