Questão 2: (7 pts) Calcule as integrais duplas iteradas abaixo:
\int_{1}^{e} \int_{0}^{1} \frac{\sqrt{x}}{y} d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada
\int_{y=1}^{e}\int_{x=0}^{1}\frac{\sqrt{x}}{y}\,dx\,dy.
O conteúdo envolvido é o cálculo de integrais duplas iteradas e o uso do Teorema de Fubini para separar integrais quando o integrando é produto de funções de variáveis distintas.

Passo 2

Observamos que a função f(x,y)=\frac{\sqrt{x}}{y} é separável, pois pode ser escrita como
f(x,y)=\underbrace{\sqrt{x}}_{\text{só de }x}\;\cdot\;\underbrace{\frac{1}{y}}_{\text{só de }y}.óó
Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
\int_{1}^{e}\int_{0}^{1}\frac{\sqrt{x}}{y}\,dx\,dy =\Bigl(\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx\Bigr)\;\Bigl(\int_{1}^{e}\frac{1}{y}\,dy\Bigr).

Passo 3

Calculamos a integral em x:
\int_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx =\int_{0}^{1}x^{\tfrac12}\,dx =\left[\frac{2}{3}\,x^{\tfrac32}\right]_{0}^{1} =\frac{2}{3}\,(1^{\tfrac32}-0)=\frac{2}{3}.

Passo 4

Agora a integral em y:
\int_{1}^{e}\frac{1}{y}\,dy =\bigl[\ln y\bigr]_{1}^{e} =\ln(e)-\ln(1)=1-0=1.

Passo 5

Multiplicando os resultados:
\Bigl(\frac{2}{3}\Bigr)\times(1)=\frac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

Exercícios relacionados