Questão 2: (7 pts) Calcule as integrais duplas iteradas abaixo:
\int_{0}^{2} \int_{0}^{\pi / 2} x \operatorname{sen}^{2}(y) d y d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla iterada
\int_{0}^{2}\int_{0}^{\pi/2}x\,\sin^{2}(y)\,dy\,dx
Este é um caso de integrais duplas iteradas em que podemos aplicar o teorema de Fubini e, como a função se separa em x vezes uma função de y, vamos integrar primeiro em y e depois em x. Também precisaremos usar a identidade trigonométrica
\sin^{2}(y)=\frac{1-\cos(2y)}{2}.

Passo 2

Como x é constante em relação a y, escrevemos
\int_{0}^{\pi/2}x\,\sin^{2}(y)\,dy = x\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}(y)\,dy.
Usando \sin^{2}(y)=\tfrac{1-\cos(2y)}{2}, temos
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}(y)\,dy =\int_{0}^{\pi/2}\frac{1-\cos(2y)}{2}\,dy.

Passo 3

Calculemos
\int_{0}^{\pi/2}\frac{1-\cos(2y)}{2}\,dy =\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}1\,dy -\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2}\cos(2y)\,dy.
A primeira parte é \tfrac{1}{2}\bigl[y\bigr]_{0}^{\pi/2}=\tfrac{\pi}{4}. A segunda é
-\frac{1}{2}\left[\frac{\sin(2y)}{2}\right]_{0}^{\pi/2} =-\frac{1}{4}\bigl(\sin(\pi)-\sin(0)\bigr)=0.
Logo
\int_{0}^{\pi/2}\sin^{2}(y)\,dy=\frac{\pi}{4}.

Passo 4

Substituindo de volta, a integral original vira
\int_{0}^{2}\Bigl(x\cdot\frac{\pi}{4}\Bigr)\,dx =\frac{\pi}{4}\int_{0}^{2}x\,dx =\frac{\pi}{4}\cdot\frac{2^{2}}{2} =\frac{\pi}{4}\cdot2 =\frac{\pi}{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{\pi}{2}

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