Calcule os seguintes limites:
\lim _{x \rightarrow 2} \frac{3 x^{2}-7 x+2}{x^{2}-4}

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to 2}\frac{3x^{2}-7x+2}{x^{2}-4}.
Informações dadas: a expressão é uma função racional (uma fração de polinômios) definida por \dfrac{3x^{2}-7x+2}{x^{2}-4} para x em torno de 2, exceto possivelmente em x=2 onde o denominador pode anular-se. O objetivo é calcular o limite quando x se aproxima de 2.

Passo 2

Tentar a substituição direta é o primeiro passo simples e rápido. Substituindo x=2 em numerador e denominador:
3\cdot 2^{2}-7\cdot 2+2 = 3\cdot 4 -14 +2 = 12-14+2 = 0,
2^{2}-4 = 4-4 = 0.
Obtemos a forma indeterminada \dfrac{0}{0}. Isso significa que não podemos concluir o limite só pela substituição — é preciso simplificar a expressão algébrica (ou aplicar outro método). Aqui a simplificação por fatoração é a mais direta.

Passo 3

Explico a ideia de fatoração: se numerador e denominador têm um fator comum (x-2), podemos simplificar esse fator para x\neq 2 e calcular o limite da função simplificada. Vamos fatorar os dois polinômios.
Fatorando o numerador \,3x^{2}-7x+2. Procura-se dois fatores lineares do tipo (ax+b)(cx+d). Testando a fatoração por inspeção:
(3x-1)(x-2)=3x^{2}-6x-x+2=3x^{2}-7x+2,
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3x^{2}-7x+2=(3x-1)(x-2).
Fatorando o denominador \,x^{2}-4 usa-se a diferença de quadrados:
x^{2}-4=(x-2)(x+2).

Passo 4

Agora escrevemos a fração com as fatorações encontradas:
\frac{3x^{2}-7x+2}{x^{2}-4} = \frac{(3x-1)(x-2)}{(x-2)(x+2)}.
Para x\neq 2 podemos cancelar o fator comum (x-2), obtendo a expressão equivalente fora de x=2:
\frac{3x^{2}-7x+2}{x^{2}-4}=\frac{3x-1}{x+2}\qquad (x\neq 2).
A justificativa para usar essa simplificação no cálculo do limite é que o limite depende apenas do comportamento da função quando x se aproxima de 2, e para x próximos de 2 (mas diferentes de 2) a função coincide com \dfrac{3x-1}{x+2}. Assim podemos calcular o limite dessa função mais simples.

Passo 5

Calcular o limite da função simplificada: como agora o denominador em x=2 não é zero, podemos usar substituição direta:
\lim_{x\to 2}\frac{3x-1}{x+2}=\frac{3\cdot 2 -1}{2+2}=\frac{6-1}{4}=\frac{5}{4}.

Passo 6

Interpretação final (rápida e motivadora): embora a expressão original dê 0/0 ao substituir x=2, isso significava apenas que havia um fator removível (x-2). Após simplificar, a função aproximada próximo a 2 tem valor que tende a \dfrac{5}{4}. Manda ver que esse tipo de fatoração é bem comum em provas — pratique um pouco e pega a mão!

Resposta

\dfrac{5}{4}

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