Calcule os seguintes limites:
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações dadas: a expressão é uma função racional (uma fração de polinômios) definida por
para
em torno de
, exceto possivelmente em
onde o denominador pode anular-se. O objetivo é calcular o limite quando
se aproxima de
.
Passo 2
Tentar a substituição direta é o primeiro passo simples e rápido. Substituindo
em numerador e denominador:
Obtemos a forma indeterminada
. Isso significa que não podemos concluir o limite só pela substituição — é preciso simplificar a expressão algébrica (ou aplicar outro método). Aqui a simplificação por fatoração é a mais direta.
Passo 3
Explico a ideia de fatoração: se numerador e denominador têm um fator comum
, podemos simplificar esse fator para
e calcular o limite da função simplificada. Vamos fatorar os dois polinômios.
Fatorando o numerador
. Procura-se dois fatores lineares do tipo
. Testando a fatoração por inspeção:
logo
Fatorando o denominador
usa-se a diferença de quadrados:
Passo 4
Agora escrevemos a fração com as fatorações encontradas:
Para
podemos cancelar o fator comum
, obtendo a expressão equivalente fora de
:
A justificativa para usar essa simplificação no cálculo do limite é que o limite depende apenas do comportamento da função quando
se aproxima de
, e para
próximos de
(mas diferentes de
) a função coincide com
. Assim podemos calcular o limite dessa função mais simples.
Passo 5
Calcular o limite da função simplificada: como agora o denominador em
não é zero, podemos usar substituição direta:
Passo 6
Interpretação final (rápida e motivadora): embora a expressão original dê
ao substituir
, isso significava apenas que havia um fator removível
. Após simplificar, a função aproximada próximo a
tem valor que tende a
. Manda ver que esse tipo de fatoração é bem comum em provas — pratique um pouco e pega a mão!