Faça o esboço dos gráficos de cada uma das seguintes funções mostrando os interceptos e o vértice.
y=x^{2}-4 x+3

Passo 1

O enunciado dá a função quadrática y=x^{2}-4x+3 e pede para fazer o esboço do gráfico mostrando os interceptos (com os eixos x e y) e o vértice.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão algébrica da parábola é y=x^{2}-4x+3.
  • Precisa-se encontrar os pontos onde a curva corta o eixo x (raízes), o ponto onde corta o eixo y, e o vértice da parábola.

Passo 2

Encontrar as interseções com o eixo x (raízes): para isso colocamos y=0 e resolvemos a equação quadrática
x^{2}-4x+3=0.
Vamos fatorar: buscamos dois números que multiplicam para 3 e somam para -4. Esses números são -1 e -3. Assim
x^{2}-4x+3=(x-1)(x-3).
Logo as raízes (interseções com o eixo x) são
x=1\quad\text{e}\quad x=3,
ou seja, os pontos (1,0) e (3,0).

Passo 3

Encontrar a interseção com o eixo y: basta avaliar em x=0:
y(0)=0^{2}-4\cdot0+3=3.
Portanto a interseção com o eixo y é o ponto (0,3).

Passo 4

Determinar o vértice: uma forma didática é completar o quadrado para escrever a parábola na forma de vértice. Partindo de
y=x^{2}-4x+3,
completamos o quadrado no termo quadrático e linear. Soma-se e subtrai-se (\tfrac{-4}{2})^{2}=4:
y=(x^{2}-4x+4)+3-4=(x-2)^{2}-1.
Esta é a forma de vértice: y=(x-2)^{2}-1. Dela vemos que o vértice está em
(2,-1).
A reta eixo de simetria é x=2.

Passo 5

Interpretar a orientação da parábola e o papel do coeficiente a: como o coeficiente de x^{2} é a=1>0, a parábola abre para cima. Assim o vértice (2,-1) é um ponto de mínimo (o ponto mais baixo da curva).

Passo 6

Pontos adicionais para ajudar no esboço e reforçar simetria: calcule valores simétricos em relação ao eixo x=2.
  • Já temos y(0)=3. Pela simetria, y(4)=3 também (verifique substituindo x=4: y(4)=16-16+3=3).
  • Já sabemos y(1)=0 e y(3)=0 (as raízes).
    Com esses pontos fáceis: (0,3),(1,0),(2,-1),(3,0),(4,3), você consegue esboçar a parábola: um “U” simétrico com mínimo em (2,-1), cortando o eixo x em (1,0) e (3,0) e o eixo y em (0,3).

Passo 7

Instruções práticas para desenhar (na prova, sem calculadora):
  1. Marque o vértice em (2,-1).
  2. Trace a reta de simetria vertical x=2 como referência.
  3. Marque os interceptos (1,0), (3,0) e (0,3); coloque também (4,3) para visualizar a simetria.
  4. Desenhe uma curva suave em forma de U que passe por esses pontos, com o mínimo em (2,-1) e abrindo para cima.

Resposta

Interseções com o eixo x: (1,0) e (3,0)
Interseção com o eixo y: (0,3)
Vértice: (2,-1)
Forma de vértice: y=(x-2)^{2}-1

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